対数の主値

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対数の主値

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/31 07:10 UTC 版)

「複素対数函数」の記事における「対数の主値」の解説

各非零複素数 z = x + yi に対して、その対数の主値 Log z とは、虚部が区間 (−π, π] に属する対数を言う。ew = 0 を満たす複素数 w は存在しないから、式 Log 0 はやはり定義されない。 この主値はいくつか別のやり方でも記述できる。 Log z の表式を得るために、z を極形式 z = reiθ で表せば、θ に 2πi の整数倍を加えるだけの不定性を以って z の極形式は一意ではないが、θ が区間 (−π, π] に属する（この θ を偏角の主値 Arg z という）とすれば「一意にする」ことができるから、これにより対数主値を Log ⁡ z := ln ⁡ r + i θ = ln ⁡ | z | + i Arg ⁡ z と定義することができる。右辺の ln は通常の実自然対数である。例えば Log(−3i) = ln 3 − πi/2 となる。 もう一つの Log z の記述の仕方は前節で述べたように複素指数函数の制限の逆函数としてのもので、垂直な帯状領域 S を w = x + yi (−π < y ≤ π) なる複素数全体の成す集合とすれば、これはどの二つも 2πi の整数倍の差を持つことのない領域であるから、指数函数を S に制限したものは逆函数を持つ。実は、複素指数函数は S を穴あき平面 C* = C ∖ {0} へ全単射に写し、逆函数は Log: C* → S となる。この写像の幾何学的性質の詳細は後述。 特に断りなく log z のように書かれた場合には、一般には主値について言っているものと考えたほうが安全である。そうすれば特に、z が正の実数のときの実数値の ln z と矛盾しない。しかし主値を他の対数と区別する目的では、頭文字を大文字化する記法を用いて Log と書くのが適当である。 実自然対数 ln の満足する等式は、複素数に拡張した場合には必ずしも成立しない。任意の z ≠ 0 に対して等式 eLog z = z は成立する（これは単に Log z は z の対数（の一つ）であると言っていることに相違ない）が、等式 Log ez = z は帯状領域 S の外側では正しくない。この理由により、等式 ez = ew の両辺に Log を施して z = w を得ることは常にはできない。また、等式 Log(z1z2) = Log z1 + Log z2 の両辺は 2πi の整数倍だけ異なり得る。 函数 Log z は各負の実数において不連続だが、それ以外の C* の各点において連続である。この不連続性を説明するために、z が負の実数 a へ近づくときに Arg z に何が起きるのかを考える。z が a に上から近づくならば、Arg z は π(= Arg a) に近づくが、z が a に下から近づくならばArg z は −π に近づく。ゆえに Arg z は z が負の実軸をまたぐとき 2π だけ値が跳び、その結果 Log z も 2πi だけ跳ぶ。