境界条件
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/20 15:48 UTC 版)
「レーン＝エムデン方程式」の記事における「境界条件」の解説
この方程式は2階の常微分方程式であるから、一意的な解を求めるためには以下の2つの境界条件が必要である。 θ ( 0 ) = 1 {\displaystyle \theta (0)=1\,} ( d θ d ξ ) ξ = 0 = 0 {\displaystyle \left({\frac {d\theta }{d\xi }}\right)_{\xi =0}=0\,} 第1式は球体の中心（r =0すなわちξ=0）における密度が有限の値ρc を持つことを意味している。第2式は球体の中心で重力がゼロ（m →0）になるのと同時に圧力勾配もゼロ(dP/dr =0)となり、さらに圧力と密度はポリトロピックな関係によって結ばれているので、密度勾配もゼロとなることを意味している。
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境界条件
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/30 08:24 UTC 版)
「レイリー・プレセット方程式」の記事における「境界条件」の解説
液体中における気泡の中心から半径方向外向きの垂直応力を σ r r {\displaystyle \sigma _{rr}} とする。球面座標系では、一定の密度および一定の粘度を持つ流体に対して、その垂直応力は σ r r = − P + 2 μ L ∂ u ∂ r {\displaystyle \sigma _{rr}=-P+2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}} と求められる。ゆえに気泡表面の微小部分では、単位面積当たりの境界の薄い層にかかる力は σ r r ( R ) + P B − 2 S R = − P ( R ) + 2 μ L ∂ u ∂ r | r = R + P B − 2 S R = − P ( R ) + 2 μ L ∂ ∂ r ( R 2 r 2 d R d t ) r = R + P B − 2 S R = − P ( R ) − 4 μ L R d R d t + P B − 2 S R {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}(R)+P_{B}-{\frac {2S}{R}}&=-P(R)+2\mu _{L}\left.{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}+P_{B}-{\frac {2S}{R}}\\&=-P(R)+2\mu _{L}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)_{r=R}+P_{B}-{\frac {2S}{R}}\\&=-P(R)-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}+P_{B}-{\frac {2S}{R}}\\\end{aligned}}} となる。ここで、 S {\displaystyle S} は表面張力である。この境界で質量輸送が無いならば、面積当たりのこの力はゼロになる必要があるので、 P ( R ) = P B − 4 μ L R d R d t − 2 S R {\displaystyle P(R)=P_{B}-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}-{\frac {2S}{R}}} ゆえに運動量保存の結果から P ( R ) − P ∞ ρ L = P B − P ∞ ρ L − 4 μ L ρ L R d R d t − 2 S ρ L R = R d 2 R d t 2 + 3 2 ( d R d t ) 2 {\displaystyle {\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}={\frac {P_{B}-P_{\infty }}{\rho _{L}}}-{\frac {4\mu _{L}}{\rho _{L}R}}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}-{\frac {2S}{\rho _{L}R}}=R{\frac {\mathrm {d} ^{2}R}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}} ν L = μ L / ρ L {\displaystyle \nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}} で置き換えることで、レイリー・プレセット方程式を得る P B ( t ) − P ∞ ( t ) ρ L = R d 2 R d t 2 + 3 2 ( d R d t ) 2 + 4 ν L R d R d t + 2 S ρ L R {\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {\mathrm {d} ^{2}R}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}+{\frac {2S}{\rho _{L}R}}} 時間についてドット記法を用いると、レイリー・プレセット方程式はより簡潔に書ける P B ( t ) − P ∞ ( t ) ρ L = R R ¨ + 3 2 ( R ˙ ) 2 + 4 ν L R ˙ R + 2 S ρ L R {\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\ddot {R}}+{\frac {3}{2}}\left({\dot {R}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}{\dot {R}}}{R}}+{\frac {2S}{\rho _{L}R}}}
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