境界条件のついたヘッセ行列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:29 UTC 版)
「ヘッセ行列」の記事における「境界条件のついたヘッセ行列」の解説
ある種の制限つき最適化問題の判定に境界つきヘッセ行列 (bordered Hessian) が利用される。与えられた関数 f(x1, x2, ..., xn) に g ( x 1 , x 2 , … , x n ) = c {\displaystyle g(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=c} のような制約関数を付け加えて得られる境界つきヘッセ行列とは H ( f , g ) = [ 0 ∂ g ∂ x 1 ∂ g ∂ x 2 ⋯ ∂ g ∂ x n ∂ g ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x 1 2 ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x n ∂ g ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x 2 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ g ∂ x n ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x n 2 ] {\displaystyle H(f,g)={\begin{bmatrix}0&{\cfrac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial g}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\cfrac {\partial g}{\partial x_{n}}}\\[16pt]{\cfrac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\[16pt]{\cfrac {\partial g}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\[16pt]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[16pt]{\cfrac {\partial g}{\partial x_{n}}}&{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}} のことである。もし、制約関数が m 本あるのならば、左上のかどに m × m のゼロ行列ブロックをおいて、上から m 本の境界行、左から m 本の境界列を並べる。 z が第一成分がゼロでなく、それ以外の成分がゼロとなるベクトルならば z'Hz = 0 となるから、境界つきヘッシアンは（正または負の）定値対称行列になれず、上記判定法の正定値や負定値という規約はここでは通用しない。 ここでの極値判定法は、境界つきヘッセ行列の n − m 小行列のある集合の行列式の符号制限からなる。直観的には、m 本の制約条件によって、最適化問題を自由変数が n − m 個の場合に簡約化したと考えるのである。例えば、x1 + x2 + x3 = 1 なる制限条件下における f(x1, x2, x3) の最大化問題は、制約条件無しの f(x1, x2, 1 − x1 − x2) の最大化問題に帰着させることができる。
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