冷たい残存粒子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/27 05:45 UTC 版)
冷たい残存粒子の存在量 Y {\displaystyle Y} の温度変化の数値解。断面積としては温度に依存しないs波対消滅を仮定した。実線、破線、一点短鎖線が異なる λ {\displaystyle \lambda } に対する数値解であり、点線は熱平衡が保たれると仮定した場合の値。熱平衡の値 Y E Q {\displaystyle Y_{\mathrm {EQ} }} は指数関数的に減少する。しかし数値解は脱結合により断面積に依存したある時点で熱平衡からの値から逸脱し、ある値 Y ( ∞ ) {\displaystyle Y(\infty )} で「凍結」する。 粒子 χ {\displaystyle \chi } が温度 T {\displaystyle T} の熱平衡にあるとき、それが非相対論的である ( k B T ≪ m χ c 2 {\displaystyle k_{\mathrm {B} }T\ll m_{\chi }c^{2}} ) ならば、その数密度 n χ {\displaystyle n_{\chi }} は n χ = g χ ( m χ k B T 2 π ℏ 2 ) 3 2 e − β m χ c 2 {\displaystyle n_{\chi }=g_{\chi }\left({\frac {m_{\chi }k_{\mathrm {B} }T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}e^{-\beta m_{\chi }c^{2}}} と書ける。従って熱平衡にあるときの Y {\displaystyle Y} の値は Y E Q ( x ) = 45 4 2 π 7 / 2 g χ g ∗ S ( x ) x 3 2 e − x {\displaystyle Y_{\mathrm {EQ} }(x)={\frac {45}{4{\sqrt {2}}\pi ^{7/2}}}{\frac {g_{\chi }}{g_{*S}(x)}}x^{\frac {3}{2}}e^{-x}} と表示できる。この場合の最終的な粒子 χ {\displaystyle \chi } の存在量は Y {\displaystyle Y} に関する方程式を数値的に解くことによって求められる。 しばしば ⟨ σ v ⟩ {\displaystyle \langle \sigma v\rangle } が温度のべき乗の依存性を持つと仮定される: ⟨ σ v ⟩ ∝ T n {\displaystyle \langle \sigma v\rangle \propto T^{n}} 。この場合、定数 λ {\displaystyle \lambda } を λ := s H ⟨ σ v ⟩ | x = 1 {\displaystyle \lambda :=\left.{\frac {s}{H}}\langle \sigma v\rangle \right|_{x=1}} により定義すると、 Y {\displaystyle Y} に関する方程式は d Y d x = − λ x n + 2 [ Y 2 − Y E Q 2 ] {\displaystyle {\frac {dY}{dx}}=-{\frac {\lambda }{x^{n+2}}}\left[Y^{2}-Y_{\mathrm {EQ} }^{2}\right]} と書き直せる。いくつかの λ {\displaystyle \lambda } に対する数値解を図に示す。ここからわかるように、初期には解 Y ( x ) {\displaystyle Y(x)} は熱平衡の場合の値 Y E Q {\displaystyle Y_{\mathrm {EQ} }} に一致するが、ある時刻 x f {\displaystyle x_{f}} でそこから逸脱する。この時刻はガモフの基準により方程式 x f n − 1 2 e x f = 45 4 2 π 7 / 2 g χ g ∗ S λ {\displaystyle x_{f}^{n-{\frac {1}{2}}}e^{x_{f}}={\frac {45}{4{\sqrt {2}}\pi ^{7/2}}}{\frac {g_{\chi }}{g_{*S}}}\lambda } を満足する値 x f {\displaystyle x_{f}} として概算できる。その後、対生成・対消滅反応が停止し、 Y {\displaystyle Y} は最終的な値 Y ( ∞ ) {\displaystyle Y(\infty )} に「凍結」する。その値は Y ( ∞ ) ∼ Y E Q ( x f ) = x f n + 1 λ {\displaystyle Y(\infty )\sim Y_{\mathrm {EQ} }(x_{f})={\frac {x_{f}^{n+1}}{\lambda }}} である。 現在の宇宙における冷たい残存粒子の密度パラメータ Ω χ 0 {\displaystyle \Omega _{\chi 0}} は次のように求まる。 Ω χ 0 = 2 × 8 π G 3 H 0 2 m χ s 0 Y ( ∞ ) = 32 π 5 / 2 9 5 m P l 3 g ∗ S 0 T 0 3 H 0 2 g ∗ g ∗ S ⟨ σ v ⟩ 1 x f n + 1 {\displaystyle \Omega _{\chi 0}=2\times {\frac {8\pi G}{3H_{0}^{2}}}m_{\chi }s_{0}Y(\infty )={\frac {32\pi ^{5/2}}{9{\sqrt {5}}m_{\mathrm {Pl} }^{3}}}{\frac {g_{*S0}T_{0}^{3}}{H_{0}^{2}}}{\frac {\sqrt {g_{*}}}{g_{*S}\langle \sigma v\rangle _{1}}}x_{f}^{n+1}}
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冷たい残存粒子
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冷たい残存粒子はコールドダークマターと呼ばれるタイプの暗黒物質となる。冷たい残存粒子の存在量は強く対消滅断面積に依存するため、質量に関する制限もまたその相互作用モデルに強く依存するが、宇宙論的に意味のある量の残存粒子が生成されるためには断面積は極めて小さい必要がある。一般論としては、理論のユニタリー性により相互作用断面積は粒子質量と σ ≲ 4 π m χ 2 {\displaystyle \sigma \lesssim {\frac {4\pi }{m_{\chi }^{2}}}} という関係にあるため、 Ω χ ≲ 0.2 {\displaystyle \Omega _{\chi }\lesssim 0.2} は m χ ≲ 120 T e V {\displaystyle m_{\chi }\lesssim 120\,\mathrm {TeV} } を要求する。 具体的に相互作用断面積およびその質量として電弱相互作用から示唆される値を用いるとき、冷たい残存粒子シナリオが予測する暗黒物質量は現在の観測値を「奇跡的」に再現する。この事実は「WIMPの奇跡 (WIMP miracle)」として知られており、暗黒物質が weakly interacting massive particle (WIMP) と呼ばれる種類の素粒子であると考える根拠のひとつとなっている。
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