他のユニタリ変換との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/20 04:46 UTC 版)
「ハウスホルダー変換」の記事における「他のユニタリ変換との関係」の解説
「回転 (数学)」も参照 既に述べた通り、ハウスホルダー変換は、単位法ベクトル v を持つ超平面に関する鏡映である。N × N ユニタリ変換 U は UU* = I を満たす。左辺の行列式（これは固有値の幾何平均の N 乗である）とトレース（これは固有値の算術平均に比例する）をとることにより、U の固有値 λi が絶対値 1 であることが確認できる。すなわち、 1 N Tr U U ∗ = 1 N ∑ j = 1 N | λ j | 2 = 1 , det U U ∗ = ∏ j = 1 N | λ j | 2 = 1 {\displaystyle {\frac {1}{N}}\operatorname {Tr} {\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {U}}^{*}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}{\mathopen {|}}\lambda _{j}{\mathclose {|}}^{2}=1,\quad \operatorname {det} {\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {U}}^{*}=\prod _{j=1}^{N}{\mathopen {|}}\lambda _{j}{\mathclose {|}}^{2}=1} となるが、算術平均と幾何平均が等しいのは平均をとったすべての値が相等しいときに限るから、すべての絶対値が 1 とわかる。 成分が実数であるときのユニタリ行列は直交行列 (UU⊤ = I) となる。容易に分かることとして、任意の直交行列はギヴンス回転と呼ばれる 2 × 2 回転行列とハウスホルダー鏡映たちの積に分解することができる。ベクトルに直交行列を掛けることはベクトルの長さを保つこと、およびベクトルの長さを保つ幾何学的操作全体の成す集合は回転と鏡映によって尽くされることから、このような分解があることは直観的にも不思議はない。 ハウスホルダー変換はユニタリ行列の成す群の標準的な剰余類分解との一対一の関係性を持ち、非常に効果的な仕方でユニタリ作用素を媒介表示するものとしてハウスホルダー変換を用いることができる。 個々のギヴンス変換と異なり、単独のハウスホルダー変換は行列の任意の列に作用することができることに注意する。そのことは、QR分解や三重対角化の計算コストの低さにも表れてくる。もちろん、このような「計算量的最適性」("computational optimality") のツケは、ハウスホルダー変換を深く効果的に媒介付けることができないこととして表れてくる。ハウスホルダー変換は直列処理機械 (sequential machine) 上の密行列に適しており、一方でギヴンス変換は並列処理機械 (parallel machine) や疎行列に適している。
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