マハラノビスの距離に基づく判別係数の求め方とは? わかりやすく解説

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マハラノビスの距離に基づく判別係数の求め方


  1. k 個の群の母集団平均を μj = ( μ1j, μ2j, ... , μpj )'( j = 1,2, ... ,k ),観測値を X= ( X1, X2, ... , Xp )' とする。
  2. 各群の分散共分散行列を Σj,その逆行列を Σj - 1 とするき,( 1 )式による各群までのマハラノビス距離計算し最も近い群に属すると判定する
    マハラノビスの距離に基づく判別係数の求め方  …… ( 1 )
    マハラノビスの距離に基づく判別係数の求め方
    1.マハラノビス距離による判別

  3. もし,各群の分散共分散行列等しい,すなわち Σ1 = Σ2 = … = Σk = Σ が仮定できれば( 2 )式のようになる
    マハラノビスの距離に基づく判別係数の求め方  …… ( 2 )
  4. 第 1 項は各群に共通,第 3 項は各群ごとに異な定数( これを cj とする )である。各ケースごとに異なるのは第 2 項のみであるから( 3 )式の計算行えばよい。
    マハラノビスの距離に基づく判別係数の求め方  …… ( 3 )
  5. 係数 a1j, a2j, ... , apj は Σ - 1要素を σij とすれば( 4 )式で求められる
    マハラノビスの距離に基づく判別係数の求め方  …… ( 4 )
  6. ( 2 )式の第 1 項は群に関係ないため無視できるので,( 5 )式の数値が最も小さい群に属すると判定すればよい。( 5 )式は,分類関数呼ばれる
    マハラノビスの距離に基づく判別係数の求め方  …… ( 5 )
  7. また,マハラノビス距離大小比較する代わりにあらゆる 2 群の組合わせに対して,( 6 )式で表される kC2 個の 判別関数定義しておくこともできる例えば,第 1 群第 2 群判別関数は,
    マハラノビスの距離に基づく判別係数の求め方  …… ( 6 )
  8. ( 6 )式の判別関数は群の数が 2 群のときは 1 個の判別関数計算すればよいので便利であるが,群の数が 3 群以上のときには,やや煩わしい
  9. 判別方法としてはこの他に,( 2 )式の dj2自由度 p の χ2 分布に従うことを利用する方法がある。各群の中心からのマハラノビス距離から P = Pr { χ2dj2 } を求めP の最も大きい群に所属する判別する。これは,dj2 値の最も小さい群に所属する判別することと同じであり,わざわざ各群へ所属する確率求める必要はなさそうに思うかもしれないが,どの群にも所属しないケース可能性考えるとこのような方法をとる必要性がわかるであろう。
  10. なお,各群の分散共分散行列等しくない場合は,判別境界は,図 1 のような直線ではなく,図 2 のような二次曲線になるので,( 1 )式による判別二次判別関数呼ばれる

マハラノビスの距離に基づく判別係数の求め方
図 2.二次判別関数


2 群の判別場合
 2 群の判別場合計算若干簡単になる計算例)。
  1. 各群の変動共変行列を S ( 1 ) ,S ( 2 ) ,2 群をプールしたときの分散・共分散行列を V とすると,それぞれの要素は以下のように定義されるマハラノビスの距離に基づく判別係数の求め方
  2. また,変数平均値の差のベクトル d を,
    マハラノビスの距離に基づく判別係数の求め方
    とすると,a は以下の連立方程式解け得られる
    マハラノビスの距離に基づく判別係数の求め方
  3. 行列表せばVa = d ゆえ,V の逆行列を V - 1 とすればa = V - 1 d である。




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