じゅんかいセールスマン‐もんだい〔ジユンクワイ‐〕【巡回セールスマン問題】
巡回セールスマン問題
【英】：traveling salesman problem (TSP)
概要
枝に重みを与えたグラフ
において, すべての点を丁度1度ずつ訪問して元に戻る巡回路(ハミルトン閉路)のうち, 総重みを最小にするものを求める問題. グラフの枝が有向であるか無向であるかで大別する. 平面上(あるいは空間内)の
点と各点の間の距離が与えられたとき, すべての点を訪問する順回路のうち最短のものを求める問題, と定義されることもある. 代表的な組合せ最適化問題の1つ.
詳説
点集合 
，枝集合 
から構成されるグラフ 
, 枝 
上の距離 
が与えられたとき，点集合 のすべての点をちょうど1回ずつ経由する巡回路（ハミルトン閉路）で，枝の距離の合計を最小にするものを求める問題を巡回セールスマン問題 (traveling salesman problem) （行商人問題）とよぶ．
特に，距離の対称性（
）を満たすものを対称巡回セールスマン問題，三角不等式（
）を満たすものを三角不等式を満たす巡回セールスマン問題，点集合が 
次元超立方体 ![[0,1]^d\,](http://weblio.hs.llnwd.net/e7/img/dict/orjtn/80fe30c74ba98e326e73076e8a2f4ef5.png)
内に分布しており，
点間の距離が点間のユークリッド距離で定義されたものをユークリッド巡回セールスマン問題 (Euclidean (Euclidian) traveling salesman problem) とよぶ．
巡回セールスマン問題に対する応用は，数百点を扱う基盤配線，運搬経路計画，スケジューリング，数万点を扱う基盤穿孔，X線結晶構造解析 (タンパク質の構造解析)，数百万点を扱うVLSI設計など，さまざまである．また，次世代のVLSI設計においては，数千万点の問題を解く必要があると言われている．
巡回セールスマン問題は，NP困難 (NP-hard) であり, 多項式時間の厳密解法が絶望視されているばかりでなく，近似比が 一定値
で抑えられる多項式時間の近似解法さえ
のもとでは存在しないことが示されている．
三角不等式を満たす対称巡回セールスマン問題に対しては，近似比が 
以下の保証をもつ多項式時間の近似解法が知られている．また， を定数としたときの 次元ユークリッド巡回セールスマン問題に対しては，固定された 
を与えたときに，近似比が 
以下に抑えられる多項式時間の近似解法（近似スキーム）が存在する．
実用的な近似解法としては，最近近傍法 (nearest neighbor method) やセービング法 (saving method) によって構築された巡回路をk-opt法 (
-opt)で改善する方法が一般的である．厳密解法としては，巡回セールスマン問題の多面体構造（TSP多面体(TSP polytope)）を利用した分枝カット法 (branch and cut method) が有効であり，実務的な大規模問題の求解に成功している．
[1] 山本芳嗣, 久保幹雄,『巡回セールスマン問題への招待』, 朝倉書店，1997.
[2] D. L. Applegate, R. E. Bixby, V. Chvatal and W. J. Cook, The Traveling Salesman Problem, Princeton, 2006.
[3] アルゴリズムデータベース http://www-or.amp.i.kyoto-u.ac.jp/algo-eng/db/
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