Point at infinity

ウィキペディア

無限遠点

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/19 07:38 UTC 版)

無限遠点（むげんえんてん、point at infinity）とは、限りなく遠いところ（無限遠）にある点のことである。日常的な意味の空間を考えている限り無限遠点は仮想的な概念でしかないが、無限遠点を実在の点とみなせるように空間概念を一般化することができる。そのようにすることで理論的な見通しが立てやすくなったり、空間概念の応用の幅が拡がったりする。

例えば、通常、平面上の二直線の位置関係は一点で交わるか平行であるかのどちらかであるとされている。これを、平行な二直線は無限遠点で交わるのだと考えることにすると、平面上の二直線は必ず一点で交わるという簡明な性質が得られることになる。（この例について、詳しくは非ユークリッド幾何学などを参照のこと）

ユークリッド平面上の互いに平行な 2 直線の交点のことである。厳密にはこの交点はユークリッド平面の中には存在しないから、無限遠点はユークリッド平面の外に存在する。 無限遠点の全体は無限遠直線を描く。

厳密な定義

まず、実平面（ユークリッド平面）上の点の斉次座標を定義する。三つの実数の組 [x : y : z] で表し、 [x'  : y'  : z' ] = [λx : λy : λz] (λ ∈ R) となるような組 [x'  : y'  : z' ] は全て [x : y : z] と同じものであると見なそう。

このとき、三つ組 [x : y : z] はその比 x : y : z = x/z : y/z : 1 によって決まるから、平面上の点 (a, b) と三つ組 [a : b : 1] を一対一に対応付けることができる。これを平面上の点の斉次座標とよぶ。 これはつまり、三次元空間における直線を別の平面の点と見ていると考えることもできる。

P²(R) = {[x : y : z] | x, y, z ∈ R}

と書いて、実射影平面と呼ぶ。すると、上で述べたことは 実平面 R² は実射影平面 P²(R) に埋め込めるということに他ならない。このとき、P²(R) における R² の補空間

l_∞ := P²(R) $\setminus$

リーマン球面は、複素平面で包んだ球面として視覚化できる。

一般に、n 次元のユークリッド空間に対し、斉次座標の方法により、空間外の点を加えてn 次元実射影空間 Pⁿ(R)を構成することができる。ｎ次元実射影空間は、ｎ次元球面とは同位相ではないが、ｎ次元球面は、ｎ次元実射影空間の二重被覆である。したがって、球面と同様、射影空間もリーマン幾何学の一つのモデルを与える。射影空間の直線とは、Rⁿ 上の直線の両端を無限遠点で結んで得られるが、これは球面における大円（球の中心を通る平面と球面との交線）に相当し、球面上の大円が2点で交わるように、射影空間上の任意の二つの直線は一点で交わる。特にユークリッド空間上での平行線は無限遠空間上で交わる。

さらに、底空間を実数直線 R から複素数平面 C に取り替えたn 次元複素射影空間 Pⁿ(C)、あるいはもっと一般に体 K 上の射影空間 Pⁿ(K) などがある。

例えば、複素直線（複素数平面）C に一点 {∞} を加えた空間は（2 次元の）球面と同相であり、リーマン球面と呼ばれ、 P(C) と書かれる。（次数を明示して P¹(C) と書かれることもある。）

リーマン球面は、複素射影直線であり、実射影平面P²(R) とは位相が異なる。

関連項目

• ゼロ除算
• 消失点

Weblio日本語例文用例辞書

「Point at infinity」の例文・使い方・用例・文例

• 米国陸軍士官学校 《West Point にある》.
• バンクーバー― マレーシアに拠点を置くBaronホテルグループはHoward Hotels Internationalを買収する交渉を行っている。
• 家庭用品小売業のPatio社は昨日、住宅設計と建設事業へ参入することを発表した。
• Patio社は、外国で作られた家庭用品や家具、装飾用品を輸入する小さな貿易会社として20 年前に創業した。
• 同社には、都会の環境に田舎の生活を取り入れたいと思う中流階級の都会人の間に数多くの支持者がおり、最高経営責任者のByron Coxによると、「住宅設計や建設は弊社のような企業にとって当然の結果だ。弊社のお客様は、彼らが所有するPatioの商品と調和する建物を求めている」とのことだ。
• Patio初の主要な建設プロジェクトはGolden Bayを見下ろす20戸の分譲マンションになるだろう。
• 今年は、Kate Kapurと私がこのイベントを担当します。
• もしお手伝いしてくださるようでしたら、Kateと私の両方に4 月25 日までにお知らせください。
• 今年の寄付金は、主に、12 月の嵐で甚大な被害を受けたPatrona棟の修繕費にあてられます。
• 許可されているものとされていないものの安全基準は、弊社のウェブサイトwww.air-qatar.comでご確認いただけます。
• Kate Herseyは、ダイエットと健康に関して、国内でナンバーワンのカリスマ的指導者としての評判を得ている。
• この本は、それぞれにテーマを持つ、いくつかのセクションに分かれており、読みやすく有益で、Kate Herseyという人物の特徴である、影響力のある表現力とユーモアにあふれている。
• 30 数年間、最も多くの人に定期講読されているライフスタイル雑誌のSophistication は、9・10 月号に載せる投稿を募集しています。
• 詳細は、Sophistication のウェブサイト、www.sophistication-magazine.comをご覧ください。
• Bridgewater CaféのYuki です。
• 「資格商法」とは文字通りには「qualification selling method」という意味であり、根拠のない資格や学位を法外な値段で売る詐欺的ビジネスである。
• "singulation"の意味を教えてくださいませんか？
• Global Procurement Organizationはどういう意味ですか？
• Mozilla Foundationは5月1日、メール/ニュースクライアントソフトの最新版「Thunderbird 2.0.0.14」をリリースした。
• 関係代名詞のthatは、主格、目的格の2つであり、所有格はありません。