非退化の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/03/17 17:09 UTC 版)
「非退化」（r = 0）な計量に関して、符号数はしばしば（符号 0 に対応する部分を除く）整数の対として (p, q) と書いたり、あるいは符号数 (1, 3) や (3, 1) を固有値の符号列として明示的にそれぞれ (+, −, −, −) や (−, +, +, +) のように書いたりもする。文献によっては p, q の代わりにひとつの数 s := p − q を符号数と呼ぶこともある。暗黙に全体の次元 n = p + q が与えられていると考えればこの s の意味での符号数から、上で述べた意味での符号数 (p, q) は復元できる。例えば, 符号数 s = 1 − 3 = −2 は (+, −, −, −) のことであり、s = 3 − 1 = +2 は (−, +, +, +) のことである。
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非退化の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/19 11:25 UTC 版)
多変量正規分布が非退化であるとは、共分散行列 Σ {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}} が正定値であることである。この場合、分布は次の形の確率密度関数を持つ。 f X ( x 1 , … , x k ) = exp ( − 1 2 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) ) ( 2 π ) k | Σ | {\displaystyle f_{\mathbf {X} }(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {\exp \left(-{\frac {1}{2}}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})\right)}{\sqrt {(2\pi )^{k}|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}}} ここで x {\displaystyle {\mathbf {x} }} は実 k 次元列ベクトルで、 | Σ | ≡ det Σ {\displaystyle |{\boldsymbol {\Sigma }}|\equiv \det {\boldsymbol {\Sigma }}} は Σ {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}} の行列式である。 Σ {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}} が 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} 行列（つまり単一の実数）である場合、この式は1変量正規分布の確率密度関数に帰着する。 複素正規分布（英語版）の場合はこれとはわずかに違った形のものになる。 k+1 次元空間内の任意の「等高線」、つまり確率密度関数の値が等しくなるような点の集合は、楕円またはその高次元対応物となる。よって多変量正規分布は楕円分布（英語版）の特別な場合である。 記述統計量 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) {\displaystyle {\sqrt {({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})}}} はマハラノビス距離として知られ、試験ベクトル x {\displaystyle {\mathbf {x} }} と平均ベクトル μ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}} との一種の距離を表す。 k = 1 {\displaystyle k=1} の場合、これは標準得点の絶対値に帰着する。
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