連続時間の第1基本定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/01/27 16:23 UTC 版)
「資産価格付けの基本定理」の記事における「連続時間の第1基本定理」の解説
連続時間の場合は定理のステートメント自体が変化し、その証明はセミマルチンゲール（英語版）の理論を駆使した非常に高度なものとなる。リスク中立確率の存在から裁定取引の非存在を示す方法は離散時間の場合とほぼ同様に証明できるが、逆の証明を行うためには裁定機会が存在しないという条件だけでは足らず、更に追加的な条件が必要となる。よく知られている Freddy Delbaen と Walter Schachermayer の第1基本定理では裁定機会の非存在を No Free Lunch with Vanishing Risk（英語版） (NFLVR) という条件に置き換えている。 （連続時間における）資産価格付けの第1基本定理 金融市場において全ての資産の価格が局所有界（英語版）なセミマルチンゲール確率過程であるとする。この時、No Free Lunch with Vanishing Riskが成立する必要十分条件は少なくとも1つ以上の、全てのポートフォリオの割引価値を局所マルチンゲール（英語版）とする同値な確率測度が存在することである。 局所マルチンゲールとはマルチンゲールの一般化の一つであり、全てのマルチンゲールである確率過程は局所マルチンゲールである。よって上述の定理における全てのポートフォリオの割引価値を局所マルチンゲールにする同値な確率測度はリスク中立確率測度も含む広い概念になっている。もし全ての資産価格が局所有界ではなく、有界であると言えるならば、上述の連続時間の資産価格付けの第1基本定理における確率測度はリスク中立確率測度であると限定することが出来る。 NFLVRは一様収束の極限での裁定取引すら許容されないという条件である。裁定機会が存在しないとしてもポートフォリオの構成比率を徐々に変化させることで極限において裁定取引が可能となる場合がある。NFLVRはこのような場合ですら排除することを意味している。当然ながら、NFLVRならば裁定取引は存在しない。 なぜ、裁定取引の非存在では足らないかというと、連続時間においては、適当な位相によって、初期費用0で実行可能なポートフォリオのペイオフからなる集合を裁定取引となるようなペイオフの集合との共通部分が生じないような閉集合とできることを裁定取引の非存在だけでは言えないからである。閉集合であることと二つの集合の共通部分が無いことが言えなければハーン＝バナッハの分離定理を適用できないのでその点が重要になる。NFLVRの仮定を課すことで初期費用0で実行可能なポートフォリオのペイオフからなる集合は汎弱位相（英語版）の下で閉集合となり、さらにそれを裁定取引であるようなペイオフの集合と分離することが可能になる。 金融資産の価格のパスが連続であるか、もしくは不連続であったとしてもそのジャンプの大きさが有界であるならば、局所有界と言える。Delbaen と Schachermayer は更に一般化した非有界の場合を証明している。非有界の場合は、全てのポートフォリオの割引価値を、局所マルチンゲールより広い概念となるシグマ-マルチンゲール（英語版）にする同値な確率測度が存在することの同値条件がNFLVRであることを述べる定理となる。
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