直線束と因子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/05/27 08:51 UTC 版)
「因子 (代数幾何学)」の記事における「直線束と因子」の解説
既約で被約な分離的スキーム X 上のカルティエ因子 D = { ( U i , g i ) } i {\displaystyle D=\{(U_{i},g_{i})\}_{i}} に対して、層 O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)} を O X ( D ) ( V ) = { f ∈ k ( X ) ∣ f ⋅ g i ∈ O X ( U ) } {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)(V)=\{f\in k(X)\mid f\cdot g_{i}\in {\mathcal {O}}_{X}(U)\}} 、ただし V ⊂ Ui で定まる定数層 k(X) の部分層とすると、hij = gj / gi は零も極も持たないので、 O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)} は {hij} を変換関数とする可逆層（invertible sheaf; あるいは、スキーム X が体上定義されているときは直線束 (line bundle) と言っても同じ）になる。線形同値なカルティエ因子が定める変換関数は同じものになるから、線形同値なカルティエ因子は同型な可逆層を定める。 逆に、可逆層 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} が与えられたとき、層 L ⊗ k ( X ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\otimes k(X)} の切断 s を L {\displaystyle {\mathcal {L}}} の有理切断 (rational section) という（スキーム X が体上定義されているときは、有理切断は L {\displaystyle {\mathcal {L}}} に対応する直線束 π : L → X に対して、有理写像 s : X → L で π ◦ s = idX をみたすものにほかならない）。 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} の自明化 L | U i ≅ O U i {\displaystyle {\mathcal {L}}_{|U_{i}}\cong {\mathcal {O}}_{U_{i}}} で 0 でない有理切断 s が Ui 上に定める有理関数を si とすると、組 {(Ui , si)} はカルティエ因子を定める。この因子を (s) と書くことにする。別の 0 でない有理切断 t が与えられれば、有理関数 g が存在して t = g.s と書けるので (t) = (s) + (g)、つまり、(t) と (s) は線形同値なカルティエ因子である。 カルティエ因子 D = { ( U i , g i ) } i {\displaystyle D=\{(U_{i},g_{i})\}_{i}} から定まる可逆層 O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)} に対しては自明化は k ( X ) ⊃ O X ( D ) | U i = 1 g i O U i {\displaystyle k(X)\supset {\mathcal {O}}_{X}(D)_{|U_{i}}={\frac {1}{g_{i}}}{\mathcal {O}}_{U_{i}}} で定まっているので、埋め込み O X ( D ) ⊂ k ( X ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)\subset k(X)} によって k(X) の単位元 1 から定まる有理切断 s に付随する因子 (s) はもとのカルティエ因子 D と一致する。従って 2つのカルティエ因子 D, E に対して、対応する可逆層 O X ( D ) , O X ( E ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D),\;{\mathcal {O}}_{X}(E)} が同型であれば、D と E は線形同値である。 X の可逆層（あるいは、直線束）の全体 Pic (X) はテンソル積を加法、 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} を単位元、双対を逆元とする演算によってアーベル群になる。これを X のピカール群 (Picard group) と呼ぶ。カルティエ因子 D, E に対して O X ( D + E ) ≅ O X ( D ) ⊗ O X ( E ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D+E)\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)\otimes {\mathcal {O}}_{X}(E)} 、 O X ( − D ) ≅ O X ( D ) ∨ {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-D)\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)^{\vee }} が成り立つので、アーベル群の同型 CDiv (X) / ∼ ≅ Pic (X) がある。 さらに X が正規かつネーター的と仮定すると、カルティエ因子（に対応するヴェイユ因子）D に対して、それから定まる可逆層 O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)} の定義は O X ( D ) ( V ) = { f ∈ k ( X ) ∣ v Z ( f ) ⩾ − v Z ( D ) } {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)(V)=\{f\in k(X)\mid v_{Z}(f)\geqslant -v_{Z}(D)\}} 、ただし、Z は V との交わりが空でない素因子全体を渡る と書き換えられる。したがって、カルティエとは限らないヴェイユ因子 D に対してもこの定義式によって層 O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)} が定義される。D がカルティエでないときは、この O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)} は可逆層にならないが、X の滑らかな点全体のなす開集合 U = X に制限すると可逆層になる。X が正規であるので、X \ U の X での余次元は 2 以上であることから、 O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)} は階数が 1 の反射的層 (reflexive sheaf) である。このことから、k(X) の階数1の反射的部分層を与えることとヴェイユ因子を与えることは同値であり、階数1の反射的部分層の同型類はヴェイユ因子の線形同値類と1対1に対応していることがわかる。
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