状態密度と分布関数とは? わかりやすく解説

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状態密度と分布関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/12/09 20:03 UTC 版)

状態密度」の記事における「状態密度と分布関数」の解説

状態密度固体中の運動エネルギー理論において重要な役割を果たす状態密度確率密度分布との積は熱平衡状態にある系について、あるエネルギーにおける単位体積あたりの被占有状態数を与える。この値は物質様々な物性調べる際に広く用いられている。ここで、確率密度分布状態密度からどのように物性を得るかの例をいくつか挙げるフェルミ・ディラック統計: 図4に示すフェルミ・ディラック分布は、熱平衡状態においてフェルミオン特定の量子状態占有する確率与える。フェルミオンパウリの排他律に従う粒子であり、例え電子陽子中性子などが挙げられるこの分関数次のように書ける。 f F D ( E ) = 1 exp ⁡ ( E − μ k B T ) + 1 {\displaystyle f_{\mathrm {FD} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)+1}}} μ は化学ポテンシャルT = 0場合フェルミ準位呼び EF と書く)、kBボルツマン定数、T は温度である。図4に示す、フェルミ・ディラック分布関数3次元半導体状態密度の積がキャリア密度やエネルギーバンドギャップなどの物性についての知識を得るために用いられるボース・アインシュタイン統計: ボース・アインシュタイン分布関数熱平衡にある系においてボソンがある量子状態占有する確率表わすボソンパウリの排他律従わない粒子で、例えフォノン光子挙げられるこの分関数は以下のように書ける。 f B E ( E ) = 1 exp ⁡ ( E − μ k B T ) − 1 {\displaystyle f_{\mathrm {BE} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{B}T}}\right)-1}}} これら二つ分布関数から、内部エネルギー U、粒子数 n、比熱容量 C、熱伝導率 k を計算することができる。 これらの物性値と、密度関数分布関数との関係式は、状態密度を D(E) ではなく g(E) と書くと、以下のようになる。 U = ∫ E f ( E ) g ( E ) d E {\displaystyle U=\int E\,f(E)\,g(E)\,\mathrm {d} E} n = ∫ f ( E ) g ( E ) d E {\displaystyle n=\int f(E)\,g(E)\,\mathrm {d} E} C = ∂ ∂ T ∫ E f ( E ) g ( E ) d E {\displaystyle C={\frac {\partial }{\partial T}}\int E\,f(E)\,g(E)\,\mathrm {d} E} k = 1 d ∂ ∂ T ∫ E f ( E ) g ( E ) ν ( E ) Λ ( E ) d E {\displaystyle k={\frac {1}{d}}{\frac {\partial }{\partial T}}\int Ef(E)\,g(E)\,\nu (E)\,\Lambda (E)\,\mathrm {d} E} d は次元数、ν は音速、Λ は平均自由行程である。

※この「状態密度と分布関数」の解説は、「状態密度」の解説の一部です。
「状態密度と分布関数」を含む「状態密度」の記事については、「状態密度」の概要を参照ください。

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