状態変数模倣ポートフォリオ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/09/24 05:42 UTC 版)
「異時点間CAPM」の記事における「状態変数模倣ポートフォリオ」の解説
次に状態模倣ポートフォリオが存在すると仮定する。つまり、任意の s = 1 , … , S {\displaystyle s=1,\dots ,S} について、あるポートフォリオ ϕ s {\displaystyle \phi _{s}} が存在して、 d X s = ( 1 − ∑ i = 1 n ϕ s , i ) d P 0 P 0 + ∑ i = 1 n ϕ s , i d P i P i {\displaystyle dX_{s}=\left(1-\sum _{i=1}^{n}\phi _{s,i}\right){\frac {dP_{0}}{P_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}\phi _{s,i}{\frac {dP_{i}}{P_{i}}}} を満たすとする。ここで行列 Φ {\displaystyle \Phi } を Φ = ( ϕ 1 , 1 ⋯ ϕ 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ ϕ S , 1 ⋯ ϕ S , n ) {\displaystyle \Phi =\left({\begin{array}{ccc}\phi _{1,1}&\cdots &\phi _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{S,1}&\cdots &\phi _{S,n}\end{array}}\right)} とすると、状態模倣ポートフォリオの瞬間的な収益率の分散共分散行列は σ Φ Φ = σ X X = Φ σ P P Φ ′ {\displaystyle \sigma _{\Phi \Phi }=\sigma _{XX}=\Phi \sigma _{PP}\Phi ^{\prime }} となる。また瞬間的な期待収益率は α Φ = Φ ( α − r ) + r {\displaystyle \alpha _{\Phi }=\Phi (\alpha -r)+r} となる。よって α Φ − r = Φ ( α − r ) = σ Φ M σ M M ( α M − r ) + 1 σ M M ( σ Φ M σ M Φ − σ M M σ Φ Φ ) H A {\displaystyle \alpha _{\Phi }-r=\Phi (\alpha -r)={\frac {\sigma _{\Phi M}}{\sigma _{MM}}}(\alpha _{M}-r)+{\frac {1}{\sigma _{MM}}}{\Big (}\sigma _{\Phi M}\sigma _{M\Phi }-\sigma _{MM}\sigma _{\Phi \Phi }{\Big )}{\frac {H}{A}}} となる。つまり、 H A = ( σ Φ M σ M Φ − σ M M σ Φ Φ ) − 1 ( σ M M ( α Φ − r ) − σ Φ M ( α M − r ) ) {\displaystyle {\frac {H}{A}}={\Big (}\sigma _{\Phi M}\sigma _{M\Phi }-\sigma _{MM}\sigma _{\Phi \Phi }{\Big )}^{-1}{\Big (}\sigma _{MM}(\alpha _{\Phi }-r)-\sigma _{\Phi M}(\alpha _{M}-r){\Big )}} である。以上から α − r = σ P M σ M M ( α M − r ) + 1 σ M M ( σ P M σ M Φ − σ M M σ P Φ ) ( σ Φ M σ M Φ − σ M M σ Φ Φ ) − 1 ( σ M M ( α Φ − r ) − σ Φ M ( α M − r ) ) {\displaystyle \alpha -r={\frac {\sigma _{PM}}{\sigma _{MM}}}(\alpha _{M}-r)+{\frac {1}{\sigma _{MM}}}{\Big (}\sigma _{PM}\sigma _{M\Phi }-\sigma _{MM}\sigma _{P\Phi }{\Big )}{\Big (}\sigma _{\Phi M}\sigma _{M\Phi }-\sigma _{MM}\sigma _{\Phi \Phi }{\Big )}^{-1}{\Big (}\sigma _{MM}(\alpha _{\Phi }-r)-\sigma _{\Phi M}(\alpha _{M}-r){\Big )}} = ( σ P M σ P Φ ) ( σ M M σ M Φ σ Φ M σ Φ Φ ) − 1 ( α M − r α Φ − r ) {\displaystyle =\left({\begin{array}{cc}\sigma _{PM}&\sigma _{P\Phi }\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}\sigma _{MM}&\sigma _{M\Phi }\\\sigma _{\Phi M}&\sigma _{\Phi \Phi }\end{array}}\right)^{-1}\left({\begin{array}{c}\alpha _{M}-r\\\alpha _{\Phi }-r\end{array}}\right)} となり、マルチファクターモデルとして表現可能である。
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