指標表の性質とは? わかりやすく解説

指標表の性質

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/07/26 17:47 UTC 版)

指標理論」の記事における「指標表の性質」の解説

群 G のある性質はその指標表から結論できる: G の位数第一列の成分既約指標次数)の平方和によって与えられる。(有限群の表現論#シューアの補題適用英語版)を参照。)より一般に任意の列の成分絶対値平方和対応する共役類の元の中心化群位数与える。 G のすべての正規部分群(したがって G が単純か否か)はその指標表から分かる指標 χ のは χ(g) = χ(1) なる G の元 g の集合である;これは G の正規部分群である。G の各正規部分群は G のいくつかの既約指標共通部分である。 G の導来部分群は G の線型指標全体共通部分である。特に、G が可換であることとすべての既約指標線型であることは同値である。 リチャード・ブラウアー(英語版)のモジュラー表現論からのいくつかの結果用いて有限群の各共役類の元の位数素因子はその指標表から分かることが分かる(グラハム・ヒグマン(英語版)による)。 指標表一般には群を同型の違いを除いて決定しない例えば、四元数群 Q と位数 8 の二面体群 D4 は同じ指標表を持つ。ブラウアー指標表共役類の元の冪がどのように分布しているかの知識合わせて有限群同型を除いて決定できるかどうかを問うた。1964年、これは E. C. Dade英語版) によって否定的に解かれた。 線型指標たちは指標群をなし、これは数論重要な関係がある[どれ?]。

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「指標表の性質」を含む「指標理論」の記事については、「指標理論」の概要を参照ください。

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