分割数の公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 23:04 UTC 版)
分割数 p(n) の漸近表示は、 p ( n ) ∼ 1 4 n 3 e π 2 n 3 as n → ∞ . {\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}{\mbox{ as }}n\to \infty .} で与えられる。この漸近公式は、ハーディとラマヌジャンによって1918年に初めて見出され、また、それとは独立にウスペンスキーが1920年に発見している。例えば p(1000) を考えると、漸近公式からだいたい 2.4402 × 1031 となることがわかるが、これは真の値とくらべても十分近い値である（真の値よりは 1.415% ほど大きい）。 1937年にラーデマッハーはハーディとラマヌジャンの結果に基づいて次の発散級数表示 p ( n ) = 1 π 2 ∑ k = 1 ∞ k A k ( n ) d d n ( 1 n − 1 24 sinh [ π k 2 3 ( n − 1 24 ) ] ) {\displaystyle p(n)={\frac {1}{\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\sqrt {k}}\,A_{k}(n)\,{\frac {d}{dn}}\left({\frac {1}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\sinh \left[{\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}\right]\right)} を得ている。ただし A k ( n ) = ∑ 0 ≤ m < k ( m , k ) = 1 e π i [ s ( m , k ) − 1 k 2 n m ] {\displaystyle A_{k}(n)=\sum _{0\leq m<k \atop (m,k)=1}e^{\pi i\left[s(m,k)-{\frac {1}{k}}2nm\right]}} とおいた。この式の微分の箇所はもう少し簡単な形に直せる。ここで、記号 (m, n) = 1 は m の値として n と互いに素であるものだけを考えることを意味する。また函数 s(m, k) はデデキント和である。ラーデマッハーの公式の証明はフォード円、ファレイ数列、モジュラー対称性およびデデキント・イータ函数などを主に使ってなされる。 2011年1月、小野とダルムシュタット工科大学のジャン・ヘンドリック・ブルーニエは、任意の自然数 n に対する p(n) を決定する有限で代数的な公式を得たと発表した。 分割数は n の「五角数分割」上の和として表すことができる。 n = k 1 + 2 k 2 + 5 k 5 + ⋯ = ∑ m q m k q m {\displaystyle n=k_{1}+2k_{2}+5k_{5}+\cdots =\sum _{m}q_{m}k_{q_{m}}} を n の五角数分割とする。ここに各 qm = m(3m − 1)/2 は一般五角数（GPN, 数列 A001318）で qM は n を超えない最大の GPN である。故に p ( n ) = ∑ k 1 = 0 n ∑ k 2 = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ∑ k 5 = 0 ⌊ n / 5 ⌋ ⋯ ∑ k q M = 0 ⌊ n / q M ⌋ ( − 1 ) A ( K k 1 , k 2 , k 5 , … , k q M ) δ n , ∑ q m k q m , {\displaystyle p(n)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\sum _{k_{5}=0}^{\lfloor n/5\rfloor }\cdots \sum _{k_{q_{M}}=0}^{\lfloor n/q_{M}\rfloor }(-1)^{A}\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},k_{2},k_{5},\ldots ,k_{q_{M}}\end{array}}\right)\delta _{n,\sum q_{m}k_{q_{m}}},} を得る。ここで K = k 1 + k 2 + k 5 + k 7 + ⋯ , A = k 5 + k 7 + k 22 + k 26 + ⋯ = ∑ m = ± 2 , ± 4 , … k q m , {\displaystyle {\begin{aligned}K&=k_{1}+k_{2}+k_{5}+k_{7}+\cdots ,\\A&=k_{5}+k_{7}+k_{22}+k_{26}+\cdots =\sum _{m=\pm 2,\pm 4,\ldots }k_{q_{m}},\end{aligned}}} および ( K k 1 , … , k n ) ≡ K ! k 1 ! ⋯ k n ! δ K , k 1 + ⋯ + k n {\displaystyle \left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}~\delta _{K,k_{1}+\cdots +k_{n}}} は多項係数である。p(n) に対する和の項の数は数列 A095699 で与えられる。例えば 8 = 7+1 = 5+2+1 = 5+1+1+1 = 2+2+2+2 = ... だから p ( 8 ) = − ( 2 1 , 0 , 0 , 1 ) − ( 3 1 , 1 , 1 , 0 ) − ( 4 3 , 0 , 1 , 0 ) + ( 4 0 , 4 , 0 , 0 ) + ( 5 2 , 3 , 0 , 0 ) + ( 6 4 , 2 , 0 , 0 ) + ( 7 6 , 1 , 0 , 0 ) + ( 8 8 , 0 , 0 , 0 ) = − 2 − 6 − 4 + 1 + 10 + 15 + 7 + 1 = 22 {\displaystyle {\begin{aligned}p(8)&=-\left({\begin{array}{c}2\\1,0,0,1\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{c}3\\1,1,1,0\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{c}4\\3,0,1,0\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}4\\0,4,0,0\end{array}}\right)\\&~~~+\left({\begin{array}{c}5\\2,3,0,0\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}6\\4,2,0,0\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}7\\6,1,0,0\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}8\\8,0,0,0\end{array}}\right)\\&=-2-6-4+1+10+15+7+1=22\end{aligned}}} となる。
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