主要な結果
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/27 08:06 UTC 版)
「代数幾何学と解析幾何学」の記事における「主要な結果」の解説
X を複素射影代数多様体とする。X は複素多様体であるので、複素数の点 X(C) はコンパクト複素解析空間の構造を持ち、Xan と表わされる。同様に、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} を X 上の層とすると、Xan 上の対応する層 F an {\displaystyle {\mathcal {F}}^{\text{an}}} が存在し、これが解析的な対象と代数的な対象を関連付ける函手となる。典型的な X と Xan を関連付ける定理は、次のように言うことができる。 X 上の任意の 2つの連接層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} と G {\displaystyle {\mathcal {G}}} に対し、自然な準同型 Hom O X ( F , G ) → Hom O X an ( F an , G an ) {\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\rightarrow {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}({\mathcal {F}}^{\text{an}},{\mathcal {G}}^{\text{an}})} は同型である。ここに、 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} は代数多様体 X の構造層であり、 O X an {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}} は解析的多様体 Xan の構造層である。言い換えると、代数多様体 X の連接層の圏と解析多様体 Xanの圏は同値であり、同値性は F {\displaystyle {\mathcal {F}}} から F an {\displaystyle {\mathcal {F}}^{\text{an}}} への写像により与えられる。（特に、 O X an {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}} 自身が連接層であることは、岡の連接定理として知られている。） もうひとつの重要なステートメントは、以下である。代数多様体 X 上の任意の連接層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} に対し、準同型 ε q : H q ( X , F ) → H q ( X a n , F a n ) {\displaystyle \varepsilon _{q}\ :\ H^{q}(X,{\mathcal {F}})\rightarrow H^{q}(X^{an},{\mathcal {F}}^{an})} は、すべての q について同型である。このことは、X 上の q次コホモロジー群と、Xan 上の q次コホモロジー群が同型であることを意味する。 この定理はより一般的な場合にも成り立つ。（詳しくは、以下のGAGAの公式ステートメントを参照。）この定理と証明は、周の定理、レフシェッツの原理や小平消滅定理のような多くの結果がある。
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主要な結果
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/13 16:38 UTC 版)
以下、n 次の形式、すなわちいくつかの変数の n 次斉次多項式が 0 に等しいという不定方程式を考える。ある形式において局所大域原理が成り立つ、という表現で、その形式が 0 に等しいという不定方程式において局所大域原理が成り立つ、ということを表すものとする。
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