モデルの次元とは? わかりやすく解説

モデルの次元

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/10/19 07:22 UTC 版)

統計モデル」の記事における「モデルの次元」の解説

P = { P θ : θ ∈ Θ } {\displaystyle {\mathcal {P}}=\{P_{\theta }:\theta \in \Theta \}} たる統計モデル ( S , P ) {\displaystyle (S,{\mathcal {P}})} を仮定する。 Θ {\displaystyle \Theta } が有限次元を持つとき、モデルは「パラメトリックである」と言われる自然数 k {\displaystyle k} を用いて、 Θ ⊆ R k {\displaystyle \Theta \subseteq \mathbb {R} ^{k}} と記載する。 R {\displaystyle \mathbb {R} } は実数を表すが、原則的には他の集合用いてもよい。ここで、 k {\displaystyle k} はモデルの次元と呼ばれるデータが単変量ガウス分布から生じると仮定すると、次のように仮定する。 P = { P μ , σ ( x )1 2 π σ exp ⁡ ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) : μ ∈ R , σ > 0 } {\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{P_{\mu ,\sigma }(x)\equiv {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right):\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\right\}} この例では、次元 k {\displaystyle k} は2に等しい。 別の例として、データが点 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} で構成され直線沿って分布し残差独立同分布ガウス分布平均ゼロ)に従うとする。こうすることで子供身長の例で使用されたものと同じ統計モデル得られる統計モデル次元は3で、直線切片直線傾き残差分布分散含まれる形式的には θ ∈ Θ {\displaystyle \theta \in \Theta } は k {\displaystyle k} 次元単一パラメータだが、 k {\displaystyle k} 個の独立パラメータ見做す場合もある。例えば、たとえば、単変量ガウス分布では、 θ {\displaystyle \theta } は形式的に次元 2単一パラメーターだが、平均標準偏差2つパラメータとみなす場合もある。 パラメータ集合 Θ {\displaystyle \Theta } が無限次元の場合、その統計モデルノンパラメトリックである。有限次元無限次元両方パラメータがある場合、その統計モデルはセミパラメトリックである。正式には、 k {\displaystyle k} が Θ {\displaystyle \Theta } の次元数、 n {\displaystyle n} が標本数であるとき、セミパラメトリックモデルでもノンパラメトリックモデルでも lim n → ∞ k = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }k=\infty } である。また、 lim n → ∞ k / n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }k/n=0} ならセミパラメトリックであり、そうでなければノンパラメトリックである。 パラメトリックモデルは、これまでで最も一般的に使用されている統計モデルである。セミパラメトリックモデルとノンパラメトリックモデルについて、デイヴィッドコックス卿は、「これらは一般的に構造分布形式仮定少ないが、通常独立性に関する強い仮定を含む」と述べている。

※この「モデルの次元」の解説は、「統計モデル」の解説の一部です。
「モデルの次元」を含む「統計モデル」の記事については、「統計モデル」の概要を参照ください。

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