フーコーの正弦則
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/24 16:19 UTC 版)
「フーコーの振り子」の記事における「フーコーの正弦則」の解説
「フーコーの正弦則」とは振り子の置かれた緯度と振動面の変化の関係式のことである。フーコーが1851年に「Démonstration physique du mouvement de rotation de la Terre au moyen du pendule（振り子による地球の回転運動の物理的実証）」と題して発表し、直後にジョゼフ・リウヴィルが証明方法を発表している。 地球の北半球上の緯度 θ {\displaystyle \theta } に支点のある振り子が南北に振動していると考える。地球の半径を R {\displaystyle R} 、地球の自転による角速度を ω {\displaystyle \omega } 、振り子の振幅を r {\displaystyle r} とする。 地球の中心点を原点とした座標系において、支点の直下での錘は自転により以下の速度で移動する。 ω R cos θ {\displaystyle \omega R\cos \theta } 次に、振り子の錘が最も北にきたときの自転から受ける速度は以下の式になる。 ω R cos θ − ω r sin θ {\displaystyle \omega R\cos \theta -\omega r\sin \theta } また、振り子の錘が最も南にきたときの点での自転から受ける速度は以下の式になる。 ω R cos θ + ω r sin θ {\displaystyle \omega R\cos \theta +\omega r\sin \theta } つまり、振り子の錘は北側より南側に振れた点の方が速く移動していることになる。振り子の支点直下からみて、両点が地球の自転から受ける速度は以下になる。 ω r sin θ {\displaystyle \omega r\sin \theta } 振り子の振動面が地球の自転の影響をうけて一周するとき、移動は円となりその円周は 2 π r {\displaystyle 2\pi r} 、一周に要する時間を T r o t {\displaystyle T_{rot}} とすると、上式をつかって以下のように表現できる。 T r o t = 2 π r ω r sin θ {\displaystyle T_{rot}={\frac {2\pi r}{\omega r\sin \theta }}} 地球の自転は約24時間であり、 ω = 2 π / 24 {\displaystyle \omega =2\pi /24} となるので、振り子の振動面が一周するのに必要な時間 T r o t {\displaystyle T_{rot}} は以下のようになる。 T r o t = 24 sin θ {\displaystyle T_{rot}={\frac {24}{\sin \theta }}} ⋯ {\displaystyle \qquad \cdots \ } (2-1) 式(2-1)を「フーコーの正弦則」と呼ぶ。また緯度 θ {\displaystyle \theta } での1時間あたりの振動面の回転角度 α r o t {\displaystyle \alpha _{rot}} は以下のようになる α r o t = 15 ∘ sin θ {\displaystyle \alpha _{rot}=15^{\circ }\sin \theta } ⋯ {\displaystyle \qquad \cdots \ } (2-2) ただし、厳密には恒星に対して地球の自転は23時間56分4秒 = 23.934時間である。従って、「フーコーの正弦則」についても、厳密にはこの値を用いる。 T r o t = 23.934 sin θ {\displaystyle T_{rot}={\frac {23.934}{\sin \theta }}}
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