セクシー素数とは？わかりやすく解説

セクシー素数（セクシーそすう、英: sexy primes）とは、差が $6$ の素数の組 $(p, p + 6)$ である。セクシー素数は無数に存在するかどうかは2016年10月現在、未解決である。最小のセクシー素数は $(5, 11)$ である。もし $p + 2$ または $p + 4$ も素数であれば、そのセクシー素数は三つ子素数の一部となる。

なおこの用語は、ラテン語で $6$ が sex であることに由来するものである。

種類

セクシー素数の組

500 までのセクシー素数は次の通りである（オンライン整数列大辞典の数列A023201、A046117）:

(5, 11)

,

(7, 13)

,

(11, 17)

,

(13, 19)

,

(17, 23)

,

(23, 29)

,

(31, 37)

,

(37, 43)

,

(41, 47)

,

(47, 53)

,

(53, 59)

,

(61, 67)

,

(67, 73)

,

(73, 79)

,

(83, 89)

,

(97, 103)

,

(101, 107)

,

(103, 109)

,

(107, 113)

,

(131, 137)

,

(151, 157)

,

(157, 163)

,

(167, 173)

,

(173, 179)

,

(191, 197)

,

(193, 199)

,

(223, 229)

,

(227, 233)

,

(233, 239)

,

(251, 257)

,

(257, 263)

,

(263, 269)

,

(271, 277)

,

(277, 283)

,

(307, 313)

,

(311, 317)

,

(331, 337)

,

(347, 353)

,

(353, 359)

,

(367, 373)

,

(373, 379)

,

(383, 389)

,

(433, 439)

,

(443, 449)

,

(457, 463)

,

(461, 467)

, …

2009年5月現在発見されている最も大きいセクシー素数は、Ken Davis によって発見された11,593桁の数である。そのセクシー素数を $(p, p + 6)$ とすると、 $p$ は

p = (117924851 \times 587502 \times 9001# \times (587502 \times 9001# + 1) + 210) \times (587502 \times 9001# - 1) / 35 + 5

で与えられる^[1]。ここで $9001#$ は素数階乗である。

セクシー素数の三つ組

3個の素数の組 $(p, p + 6, p + 12)$ で $p + 18$ が合成数である場合をセクシー素数の三つ組 (sexy prime triplets) と呼ぶ。 $p + 18$ が素数である場合を除外するのは $(p, p + 6, p + 12)$ と $(p + 6, p + 12, p + 18)$ がダブルカウントされるのを防ぐためである。セクシー素数の三つ組を1000まで以下に挙げる (A046118, A046119, A046120):

(7, 13, 19)

,

(17, 23, 29)

,

(31, 37, 43)

,

(47, 53, 59)

,

(67, 73, 79)

,

(97, 103, 109)

,

(101, 107, 113)

,

(151, 157, 163)

,

(167, 173, 179)

,

(227, 233, 239)

,

(257, 263, 269)

,

(271, 277, 283)

,

(347, 353, 359)

,

(367, 373, 379)

,

(557, 563, 569)

,

(587, 593, 599)

,

(607, 613, 619)

,

(647, 653, 659)

,

(727, 733, 739)

,

(941, 947, 953)

,

(971, 977, 983)

, …

2006年4月現在知られている最も大きいセクシー素数の三つ組は、Ken Davis によって発見された5,132桁の数である。それを $(p, p + 6, p + 12)$ とすると、 $p$ は

p = (84055657369 \times 205881 \times 4001# \times (205881 \times 4001# + 1) + 210) \times (205881 \times 4001# - 1) / 35 + 1

で与えられる^[2]。

セクシー素数の四つ組

セクシー素数の四つ組 (sexy prime quadruplets) $(p, p + 6, p + 12, p + 18)$ は、十進表記で一の位が $1$ の素数でのみ始まる（ $p = 5$ のときは例外）。セクシー素数の四つ組を1000まで以下に挙げる (A023271, A046122, A046123, A046124):

(5, 11, 17, 23)

,

(11, 17, 23, 29)

,

(41, 47, 53, 59)

,

(61, 67, 73, 79)

,

(251, 257, 263, 269)

,

(601, 607, 613, 619)

,

(641, 647, 653, 659)

, …

2005年11月現在知られている最も大きいセクシー素数の四つ組は、Jens Kruse Andersen により発見された1,002桁の数である。それを $(p, p + 6, p + 12, p + 18)$ とすると、 $p$ は

p = 411784973 \times 2347# + 3301

で与えられる^[3]。三つ組・四つ組が無数に存在するかどうかは分かっていない。

セクシー素数の五つ組

公差 $6$ の等差数列5項において、 $6 > 5$ かつ $5$ と $6$ が互いに素であることから、5項のうち1つは $5$ で割り切れるが、 $5$ で割り切れる素数は $5$ のみである。ゆえに、唯一のセクシー素数の五つ組 (sexy prime quintuplets) は $(5, 11, 17, 23, 29)$ に限られる。

セクシー素数の六つ組以上

セクシー素数の五つ組は $(5, 11, 17, 23, 29)$ に限られるが、 $29 + 6 = 35 = 5 \times 7$ は合成数であるためセクシー素数の六つ組 (sexy prime hextuplets) は存在せず、それ以上も当然存在しない。

出典

^ Ken Davis, "11593 digit sexy prime pair". Retrieved 2009-05-06.
^ Jens K. Andersen, "The largest known sexy CPAP's". Retrieved 2009-01-27.
^ Jens K. Andersen, "Gigantic sexy and cousin primes". Retrieved 2009-01-27.

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Sexy Primes". mathworld.wolfram.com (英語).（2010年9月20日閲覧）

[1] Ken Davis, "11593 digit sexy prime pair". Retrieved 2009-05-06.

[2] Jens K. Andersen, "The largest known sexy CPAP's". Retrieved 2009-01-27.

[sexycousin-3] Jens K. Andersen, "Gigantic sexy and cousin primes". Retrieved 2009-01-27.

[1]

[2]

[3]

表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan（英語版） ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス（英語版） ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban（英語版） ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト（英語版） ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式（英語版）	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面（英語版）回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能 Circular（英語版）切り捨て可能 Strobogrammatic（英語版） Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
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