コリオリの力と流速（水平面からの反転）
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「コンプトン・ジェネレーター」の記事における「コリオリの力と流速（水平面からの反転）」の解説
コンプトン・ジェネレーターの回転により生じる流速と地球の自転から受けるコリオリの力の関係を導出する。ここで地球の自転の角速度 ω {\displaystyle \omega } として、緯度 λ {\displaystyle \lambda } の地表に南方向に x {\displaystyle x} 軸、東方向に y {\displaystyle y} 軸、天上方向に z {\displaystyle z} 軸として固定した運動座標系をとる。地球の自転の角速度成分 ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} は、以下の関係になる。 ω → = ( − ω cos λ , 0 , ω sin λ ) {\displaystyle {\vec {\omega }}=(-\omega \cos \lambda ,0,\omega \sin \lambda )} 次にリング内の水に生じるコリオリの力を考える。リングを円周方向に x {\displaystyle x} 軸からの角 θ {\displaystyle \theta } 部分の小片に生じるコリオリの力 F θ {\displaystyle F_{\theta }} について考える。リングの半径 R {\displaystyle R} とし、リング管の内径は R {\displaystyle R} に対して十分に小さいとする。 ここでリングをy軸回り（東西方向を回転軸）に、角 ϕ {\displaystyle \phi } 、角速度 ϕ ˙ {\displaystyle {\dot {\phi }}} で回転した状態を考える。ただしリングは水平（0度）から180度反転される。このとき、リングの角 θ {\displaystyle \theta } 部分の小片の位置ベクトル r → {\displaystyle {\vec {r}}} は、以下のようになる。 r → = ( R cos ϕ cos θ , R sin θ , R sin ϕ cos θ ) {\displaystyle {\vec {r}}=(R\cos \phi \cos \theta ,R\sin \theta ,R\sin \phi \cos \theta )} また小片の速度ベクトル v r → {\displaystyle {\vec {v_{r}}}} は、 r → {\displaystyle {\vec {r}}} を時間微分し、以下のようになる。 v r → = r ˙ → = ( − R ϕ ˙ sin ϕ cos θ , 0 , R ϕ ˙ cos ϕ cos θ ) {\displaystyle {\vec {v_{r}}}={\vec {\dot {r}}}=(-R{\dot {\phi }}\sin \phi \cos \theta ,0,R{\dot {\phi }}\cos \phi \cos \theta )} r → {\displaystyle {\vec {r}}} と v r → {\displaystyle {\vec {v_{r}}}} の外積を求めると、 ω → × v r → = | i ^ j ^ k ^ − ω cos λ 0 ω sin λ − R ϕ ˙ sin ϕ cos θ 0 R ϕ ˙ cos ϕ cos θ | = − j ^ ( − ω cos λ R ϕ ˙ cos ϕ cos θ + ω sin λ R ϕ ˙ sin ϕ cos θ ) = R ω ϕ ˙ cos θ ( cos λ cos ϕ − sin λ sin ϕ ) j ^ = R ω ϕ ˙ cos θ cos ( λ + ϕ ) j ^ {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}\times {\vec {v_{r}}}&={\begin{vmatrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\-\omega \cos \lambda &0&\omega \sin \lambda \\-R{\dot {\phi }}\sin \phi \cos \theta &0&R{\dot {\phi }}\cos \phi \cos \theta \end{vmatrix}}\\&=-{\hat {j}}(-\omega \cos \lambda R{\dot {\phi }}\cos \phi \cos \theta +\omega \sin \lambda R{\dot {\phi }}\sin \phi \cos \theta )\\&=R\omega {\dot {\phi }}\cos \theta (\cos \lambda \cos \phi -\sin \lambda \sin \phi ){\hat {j}}\\&=R\omega {\dot {\phi }}\cos \theta \cos(\lambda +\phi ){\hat {j}}\end{aligned}}} 以上から、小片の水の質量 Δ m {\displaystyle \Delta m} に働くコリオリの力 F j {\displaystyle F_{j}} は F j = − 2 Δ m ⋅ ( ω → × v r → ) = − 2 Δ m R ω ϕ ˙ cos θ cos ( λ + ϕ ) j ^ {\displaystyle F_{j}=-2\Delta m\cdot \left({\vec {\omega }}\times {\vec {v_{r}}}\right)=-2\Delta mR\omega {\dot {\phi }}\cos \theta \cos(\lambda +\phi ){\hat {j}}} ここで、リングの中心を原点とする極座標でコリオリの力 F j {\displaystyle F_{j}} を考えると、リングの周の接線方向に働く力成分 F θ {\displaystyle F_{\theta }} 、動径方向に働く力成分 F r {\displaystyle F_{r}} とすると、 F θ = F j ⋅ cos θ {\displaystyle F_{\theta }=F_{j}\cdot \cos \theta } F r = F j ⋅ sin θ {\displaystyle F_{r}=F_{j}\cdot \sin \theta } コリオリ力によって発生する水流は、 F θ {\displaystyle F_{\theta }} によって生じることから F θ = F j ⋅ cos θ = − 2 Δ m R ω ϕ ˙ cos 2 θ cos ( λ + ϕ ) e θ ^ {\displaystyle F_{\theta }=F_{j}\cdot \cos \theta =-2\Delta mR\omega {\dot {\phi }}\cos ^{2}\theta \cos(\lambda +\phi ){\hat {e_{\theta }}}} F θ t o t {\displaystyle F_{\theta tot}} F θ t o t = ∫ 0 2 π F θ d θ = − 2 Δ m ∫ 0 2 π R ω ϕ ˙ cos 2 θ cos ( λ + ϕ ) d θ = − 2 Δ m R ω ϕ ˙ cos ( λ + ϕ ) [ 1 2 θ + 1 4 sin 2 θ ] 0 2 π = − 2 π Δ m R ω ϕ ˙ cos ( λ + ϕ ) {\displaystyle {\begin{aligned}F_{\theta tot}&=\int _{0}^{2\pi }F_{\theta }d\theta \\&=-2\Delta m\int _{0}^{2\pi }R\omega {\dot {\phi }}\cos ^{2}\theta \cos(\lambda +\phi )d\theta \\&=-2\Delta mR\omega {\dot {\phi }}\cos(\lambda +\phi )\left[{\frac {1}{2}}\theta +{\frac {1}{4}}\sin 2\theta \right]_{0}^{2\pi }\\&=-2\pi \Delta mR\omega {\dot {\phi }}\cos(\lambda +\phi )\end{aligned}}} リングの角 θ {\displaystyle \theta } における小片の運動量 P θ {\displaystyle P_{\theta }} と力 F θ {\displaystyle F_{\theta }} の関係は以下のようになる。 F θ = d P θ d t {\displaystyle F_{\theta }={\frac {dP_{\theta }}{dt}}} また、 d P θ d t ∝ ϕ ˙ cos ( λ + ϕ ) = cos ( λ + ϕ ) d ϕ d t d P θ ∝ cos ( λ + ϕ ) d ϕ {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dP_{\theta }}{dt}}&\varpropto {\dot {\phi }}\cos(\lambda +\phi )=\cos(\lambda +\phi ){\frac {d\phi }{dt}}\\dP_{\theta }&\varpropto \cos(\lambda +\phi )d\phi \end{aligned}}} 以上から、リング面を水平位置から180度回転したときのリング内の水に生じる運動量 ⟨ P ⟩ {\displaystyle \langle P\rangle } は ⟨ P ⟩ = ∫ 0 π F θ t o t d ϕ = − 2 π Δ m R ω ∫ 0 π cos ( λ + ϕ ) d ϕ = − 2 π Δ m R ω { sin ( λ + π ) − sin λ } = 4 π Δ m R ω sin λ {\displaystyle {\begin{aligned}\langle P\rangle &=\int _{0}^{\pi }F_{\theta tot}d\phi \\&=-2\pi \Delta mR\omega \int _{0}^{\pi }\cos(\lambda +\phi )d\phi \\&=-2\pi \Delta mR\omega \left\{\sin(\lambda +\pi )-\sin \lambda \right\}\\&=4\pi \Delta mR\omega \sin \lambda \end{aligned}}} リング管の中の流体の全質量を M {\displaystyle M} とすると M = ∫ 0 2 π Δ m d θ = 2 π Δ m {\displaystyle M=\int _{0}^{2\pi }\Delta md\theta =2\pi \Delta m} リング管の中の水の運動量 ⟨ P ⟩ {\displaystyle \langle P\rangle } と水流の速度 v t h {\displaystyle v_{th}} は運動量の定義から ⟨ P ⟩ = M ⋅ v t h = 2 π Δ m ⋅ v t h {\displaystyle \langle P\rangle =M\cdot v_{th}=2\pi \Delta m\cdot v_{th}} 一方、リング面を水平位置から180度回転したとき、水は非圧縮でありリング内の水はすべて同じ流速度で流れると仮定する。従って、リング内の水流の速度 v t h {\displaystyle v_{th}} の理論値は、以下の式で求めることができる。 v t h = 2 ω R sin λ {\displaystyle v_{th}=2\omega R\sin \lambda }
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コリオリの力と流速（垂直面からの反転）
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リング面を垂直位置から、東西方向に回転軸をとり、リングを180度回転したときの水流の速度 v t v {\displaystyle v_{tv}} は、水平面からの反転と同様の手順で求めると、以下のようになる。ただし地球の自転の角速度 ω {\displaystyle \omega } 、緯度 λ {\displaystyle \lambda } 、リングの半径 R {\displaystyle R} である。 v t v = 2 ω R cos λ {\displaystyle v_{tv}=2\omega R\cos \lambda }
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