コクランのQ検定

統計学用語辞典

コクランの Q 検定

例題：
　「10 人の被検者を対象として，3 種類の状況の下である作業に成功するかどうかを調べたところ，表 1 のような結果であった（成功の場合 1，失敗の場合 0 で表した）。状況により成功の比率が違うかどうかを検定しなさい。」

表 1．コクランの Q 検定を適用するデータ

被検者	状況 1	状況 2	状況 3
1	0	0	0
2	0	0	0
3	0	0	0
4	0	0	1
5	0	1	1
6	0	1	1
7	0	1	1
8	1	1	1
9	1	1	1
10	1	1	1

R による解析：

> x <- matrix(c(
+         0,0,0,
+         0,0,0,
+         0,0,0,
+         0,0,1,
+         0,1,1,
+         0,1,1,
+         0,1,1,
+         1,1,1,
+         1,1,1,
+         1,1,1
+ ), byrow=T, ncol=3)

> Cochran.Q.test(x)	# この関数の定義を見る
Statistics Q         d.f.      P value 
  6.50000000   2.00000000   0.03877421 

コクランの Q 検定

対応のある k 個（k ≧ 3）の名義尺度変数において，処理間の差（比率の差）の検定を行う（2 つの対応のある比率の検定（マクネマー検定）を拡張した検定である）。各データは 2 値型の変数でなければならない。


例題：
　「10 人の被検者を対象として，3 種類の状況の下である作業に成功するかどうかを調べたところ，表 1 のような結果であった（成功の場合 1，失敗の場合 0 で表した）。状況により成功の比率が違うかどうかを検定しなさい。」

表 1．コクランの Q 検定を適用するデータ

被検者	状況 1	状況 2	状況 3
1	0	0	0
2	0	0	0
3	0	0	0
4	0	0	1
5	0	1	1
6	0	1	1
7	0	1	1
8	1	1	1
9	1	1	1
10	1	1	1

検定手順:

1. 前提
   • 帰無仮説 H0：「比率に差はない」。
   • 対立仮説 H1：「比率に差がある」。
   • 有意水準 α で両側検定を行う（片側検定は定義できない）。
   
   
2. k 個の対応のあるデータが n 組あり，表 2 のように整理されているとする。Rij は，特性を持つときに 1，持たないときに 0 の値をとるように記述されているとする。
   

   表 2．k 個の対応のあるデータ

   組	処理 1	処理 2	…	処理 k	合計
   1	R11	R12	…	R1k	L1
   2	R21	R22	…	R2k	L2
   ：	：	：	：	：	：
   n	Rn1	Rn2	…	Rnk	Ln
   合計	G1	G2	…	Gk

   
   
   
   
3. 表 2 より，検定統計量 Q を計算する。
   
   例題では，Q = 6.5 である。
   
4. Q は，自由度が k-1 のχ²分布に従う。
   例題では，自由度が 2 の χ² 分布に従う。
   
5. 有意確率を P= Pr ｛ χ² ≧ Q ｝ とする。
   χ²分布表，または χ² 分布の上側確率の計算を参照すること。
   例題では，自由度 2 の χ² 分布において，Pr｛χ² ≧ 5.99｝= 0.05 であるから，P = Pr｛χ² ≧ 6.5｝＜ 0.05 である（正確な有意確率：P = 0.03877）。
   
6. 帰無仮説の採否を決める。
   
   • P ＞ α のとき，帰無仮説を採択する。「比率に差はない」。
   • P ≦ α のとき，帰無仮説を棄却する。「比率に差がある」。
   
   例題では，有意水準 5% で検定を行うとすれば（α = 0.05），P ＜ α であるから，帰無仮説を棄却する。すなわち，「条件により成功の比率は異なる」といえる。