ゴンペルツ曲線とは?

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ゴンペルツ曲線


例題
 「表 1 に示すようなデータ曲線あてはめなさい。」
表 1テストデータ
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
y 2.9 5.2 9.1 15.5 25 37.8 52.6 66.9 78.6 87 92.4 95.7 97.6 98.6 99.2



考え方
  1. 元のデータプロットすると図 1 のようになる。
    ゴンペルツ曲線
    図 1.元データプロット

  2. 独立変数は,1から始まる連続する整数とする。従属変数全て正の値でなければならない( 0 も不可 )。
    注1: より妥当なあてはめを行う場合には,非線形最小二乗あてはめを行う。
    注2: データ飽和点に達していない部分のみ( 指数的な増加部分だけ )の場合には,あてはめ失敗する場合がある。このような場合には非線形最小二乗法によるあてはめを行う。
  3. ゴンペルツ曲線を表す( 1 )式の両辺対数をとると,( 2 )式のようになる。
    ゴンペルツ曲線  …… ( 1 )
    ゴンペルツ曲線  …… ( 2 )
  4. ここで,Y = log yA = log a,B = log b とおくと( 3 )式のようになる。
    ゴンペルツ曲線  …… ( 3 )
  5. ( 3 )式は,未知パラメータ A,B については線形であるが,c については非線形である。そこで,以下のような逐次的近似する手法をとる。
    1. パラメータ c の初期近似値c1 とする( c = c1 + δ )。
      ゴンペルツ曲線
    2. ( 3 )式に代入して,
      ゴンペルツ曲線
    3. X1 = exp ( - c1 x ) ,X2 = x exp ( - c1 x ) ,C = B δ とおくと,
      ゴンペルツ曲線  …… ( 4 )
    4. ( 4 )式は,2 個の独立変数( X1,X2 )からなる回帰式であるので,A,B,C を求めることができる。
    5. c の近似値 c1改良c2 は,δ = C / B であるからc2 = c1 + δ と表される。
    6. パラメータ c の修正量 δ が十分小さくなるまで( 4 )式の重回帰式繰返し計算する。

    例題では,c1 = 0.2 とすると以下のようになる。
    c1 = 0.2
               x        y    Y=ln(y)      X1        X2
                1      2.9   1.06471  0.81873   0.81873
                2      5.2   1.64866  0.67032   1.34064
                3      9.1   2.20827  0.54881   1.64643
                4     15.5   2.74084  0.44933   1.79732
                5     25.0   3.21888  0.36788   1.83940
                6     37.8   3.63231  0.30119   1.80717
                7     52.6   3.96272  0.24660   1.72618
                8     66.9   4.20320  0.20190   1.61517
                9     78.6   4.36437  0.16530   1.48769
               10     87.0   4.46591  0.13534   1.35335
               11     92.4   4.52613  0.11080   1.21883
               12     95.7   4.56122  0.09072   1.08862
               13     97.6   4.58088  0.07427   0.96556
               14     98.6   4.59107  0.06081   0.85134
               15     99.2   4.59714  0.04979   0.74681
    
    A = 4.8637835
    B = -4.970501
    C = -0.135046
    
    a = exp( 4.86378350866624) = 129.513290946697
    b = exp(-4.97050111528571) = 0.00693966958875897
    c2 = 0.2 - 0.135045637341107 / -4.97050111528571 = 0.227169420991739
    
               x        y    Y=ln(y)      X1        X2
                1      2.9   1.06471  0.79679   0.79679
                2      5.2   1.64866  0.63487   1.26974
                3      9.1   2.20827  0.50585   1.51756
                4     15.5   2.74084  0.40306   1.61223
                5     25.0   3.21888  0.32115   1.60575
                6     37.8   3.63231  0.25589   1.53533
                7     52.6   3.96272  0.20389   1.42721
                8     66.9   4.20320  0.16245   1.29964
                9     78.6   4.36437  0.12944   1.16498
               10     87.0   4.46591  0.10314   1.03137
               11     92.4   4.52613  0.08218   0.90396
               12     95.7   4.56122  0.06548   0.78574
               13     97.6   4.58088  0.05217   0.67824
               14     98.6   4.59107  0.04157   0.58198
               15     99.2   4.59714  0.03312   0.49684
    
    A = 4.900239
    B = -4.988447
    C = 0.0135187
    
    a = exp( 4.90023902483658) = 134.321882114064
    b = exp(-4.98844737035507) = 0.0068162393759893
    c3 = 0.227169420991739 + 0.0135187429340499 / -4.98844737035507 = 0.224459410856243
    					:
    					:
    

ゴンペルツ曲線
図 2.あてはめ結果





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