ゴンペルツ‐きょくせん【ゴンペルツ曲線】
ゴンペルツ曲線
例題:
「表 1 に示すようなデータに曲線をあてはめなさい。」
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y | 2.9 | 5.2 | 9.1 | 15.5 | 25 | 37.8 | 52.6 | 66.9 | 78.6 | 87 | 92.4 | 95.7 | 97.6 | 98.6 | 99.2 |
考え方:
- 元のデータをプロットすると図 1 のようになる。
図 1.元データのプロット
- 独立変数は,1から始まる連続する整数とする。従属変数は全て正の値でなければならない( 0 も不可 )。
注1: より妥当なあてはめを行う場合には,非線形最小二乗あてはめを行う。
注2: データが飽和点に達していない部分のみ( 指数的な増加部分だけ )の場合には,あてはめに失敗する場合がある。このような場合には非線形最小二乗法によるあてはめを行う。
- ゴンペルツ曲線を表す( 1 )式の両辺の対数をとると,( 2 )式のようになる。
…… ( 1 )
…… ( 2 )
- ここで,Y = log y,A = log a,B = log b とおくと( 3 )式のようになる。
…… ( 3 )
- ( 3 )式は,未知のパラメータ A,B については線形であるが,c については非線形である。そこで,以下のような逐次的に近似する手法をとる。
- パラメータ c の初期近似値を c1 とする( c = c1 + δ )。
- ( 3 )式に代入して,
- X1 = exp ( - c1 x ) ,X2 = x exp ( - c1 x ) ,C = B δ とおくと,
…… ( 4 )
- ( 4 )式は,2 個の独立変数( X1,X2 )からなる重回帰式であるので,A,B,C を求めることができる。
- c の近似値 c1 の改良値 c2 は,δ = C / B であるから,c2 = c1 + δ と表される。
- パラメータ c の修正量 δ が十分小さくなるまで( 4 )式の重回帰式を繰返して計算する。
例題では,c1 = 0.2 とすると以下のようになる。c1 = 0.2 x y Y=ln(y) X1 X2 1 2.9 1.06471 0.81873 0.81873 2 5.2 1.64866 0.67032 1.34064 3 9.1 2.20827 0.54881 1.64643 4 15.5 2.74084 0.44933 1.79732 5 25.0 3.21888 0.36788 1.83940 6 37.8 3.63231 0.30119 1.80717 7 52.6 3.96272 0.24660 1.72618 8 66.9 4.20320 0.20190 1.61517 9 78.6 4.36437 0.16530 1.48769 10 87.0 4.46591 0.13534 1.35335 11 92.4 4.52613 0.11080 1.21883 12 95.7 4.56122 0.09072 1.08862 13 97.6 4.58088 0.07427 0.96556 14 98.6 4.59107 0.06081 0.85134 15 99.2 4.59714 0.04979 0.74681 A = 4.8637835 B = -4.970501 C = -0.135046 a = exp( 4.86378350866624) = 129.513290946697 b = exp(-4.97050111528571) = 0.00693966958875897 c2 = 0.2 - 0.135045637341107 / -4.97050111528571 = 0.227169420991739 x y Y=ln(y) X1 X2 1 2.9 1.06471 0.79679 0.79679 2 5.2 1.64866 0.63487 1.26974 3 9.1 2.20827 0.50585 1.51756 4 15.5 2.74084 0.40306 1.61223 5 25.0 3.21888 0.32115 1.60575 6 37.8 3.63231 0.25589 1.53533 7 52.6 3.96272 0.20389 1.42721 8 66.9 4.20320 0.16245 1.29964 9 78.6 4.36437 0.12944 1.16498 10 87.0 4.46591 0.10314 1.03137 11 92.4 4.52613 0.08218 0.90396 12 95.7 4.56122 0.06548 0.78574 13 97.6 4.58088 0.05217 0.67824 14 98.6 4.59107 0.04157 0.58198 15 99.2 4.59714 0.03312 0.49684 A = 4.900239 B = -4.988447 C = 0.0135187 a = exp( 4.90023902483658) = 134.321882114064 b = exp(-4.98844737035507) = 0.0068162393759893 c3 = 0.227169420991739 + 0.0135187429340499 / -4.98844737035507 = 0.224459410856243 : :
- パラメータ c の初期近似値を c1 とする( c = c1 + δ )。
図 2.あてはめ結果 |
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