例と反例

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例と反例

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/04/26 09:02 UTC 版)

「Fσ集合」の記事における「例と反例」の解説

任意の閉集合は明らかに Fσ-集合である。 有理数全体の成す集合 Q は実数全体の成す集合 R の Fσ-集合である。無理数全体の成す集合 P = R ∖ Q は R の Fσ-集合ではない。 チホノフ空間において、一点集合 {x} は閉集合となるから、任意の高々可算な集合は Fσ-集合になる。 距離化可能空間においては、任意の開集合が Fσ-集合になり、また任意の閉集合が Gδ-集合になる。 座標平面 R2 上の点 (x, y) で x/y が有理数となるようなもの全体の成す集合 A は Fσ-集合である。これは A が原点を通り、傾きが有理数であるような直線の和 として書けることによる。ここで有理数全体の成す集合 Q が可算集合であることに注意。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/20 01:11 UTC 版)

「コルモゴロフ空間」の記事における「例と反例」の解説

数学を普通に研究していて遭遇する位相空間というのは T0 になっていることが殆どである。特にすべてのハウスドルフ空間 (T2) およびT1-空間は T0 である。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/08/15 09:31 UTC 版)

「局所コンパクト群」の記事における「例と反例」の解説

任意のコンパクト群（英語版）は局所コンパクトである。 任意の離散群（英語版）は局所コンパクトである。したがって局所コンパクト群の理論は通常の群の理論を含む。任意の群には離散位相を与えることができるからである。 局所的にユークリッド的なリー群は局所コンパクト群である。 ハウスドルフ位相線型空間が局所コンパクトであることと有限次元であることは同値である。 有理数の加法群 Q は実数の部分集合として相対位相を与えると局所コンパクトではない。離散位相を与えると局所コンパクトである。 任意の素数 p に対して p 進数の加法群 Qp は局所コンパクトである。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/05/11 23:15 UTC 版)

「形式的に実な体」の記事における「例と反例」の解説

実数体 R や有理数体 Q は形式的に実である。 一方、複素数体 C は形式的に実でない（実際、−1 = i2 は C の平方元である）。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/10/02 14:08 UTC 版)

「第一可算的空間」の記事における「例と反例」の解説

普通に使われる空間のほとんどは第一可算的である。特に、距離空間はすべて第一可算的である。というのは、各点 x に対し、それを中心とする半径 1/n (n は正の整数) の開球の系列は x の可算な基本近傍系となっている。 第一可算的でない空間の例として、補有限位相を入れた (実数直線などの) 非可算集合がある。 別の反例としては順序数空間 ω1+1 = [0, ω1] がある。ここで ω1 は最小の非可算順序数である。 点 ω1 は [0, ω1) の極限点であるが、そのどんな可算点列を持ってきても ω1 を極限としては持てない。特に、 ω1+1 = [0, ω1] の点である ω1 は可算な基本近傍系を持てない。部分空間である ω1 = [0, ω1) は第一可算的である。 商位相空間 R/N （実数直線上の自然数全体を一つの点と見なした空間）は第一可算的でない。しかしながら、この空間には「任意の部分集合 A とその閉包の任意の点 x に対し、A の点列で x に収束するものがある」という性質がある。このような性質をもつ空間をフレシェ-ウリゾーン空間という。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/23 02:01 UTC 版)

「二次閉体」の記事における「例と反例」の解説

複素数体は二次閉体である。より一般に、任意の代数閉体は二次閉である。 実数体は二次的に閉じていない。なんとなれば −1 の平方根は存在しない。 任意の非負整数 n に亘る有限体 F 5 2 n {\textstyle \mathbb {F} _{5^{2^{n}}}} の合併は二次閉だが代数閉でない体の例となる。 作図可能数体は二次閉だが代数閉でない。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/11 07:27 UTC 版)

「Gδ集合」の記事における「例と反例」の解説

任意の開集合は明らかに Gδ-集合である。 無理数の全体 P は実数直線 R の Gδ-集合である。実際 P は、q が任意の有理数を亙るときの一点集合 {q} の R における補集合すべての交わりとして表せる。 有理数の全体 Q は実数直線 R の Gδ-集合ではない。実際、Q が開集合列 An の交わりに書けるとすると、各 An は（Q が R において稠密ゆえ）何れも R において稠密でなければならないが、上でやったように無理数全体の集合 P は稠密開集合の可算交叉として書けるから、P と Q との交わりをとれば R の稠密開集合の可算交叉が空集合となるものが存在することとなり、ベールの範疇定理に反する。 R 上の至る所微分可能な実数値函数の導函数の零点集合は Gδ-集合である。この零点集合が内部が空な稠密集合となることは、ポンペイウの構成法（英語版）から示される。 より複雑な Gδ-集合の例は、次の定理から得られる。 定理 集合 D を区間 [0,1] 上で定義された、各点で微分不可能な連続函数全体の成す集合とすると、D は区間 [0,1] 上の連続函数の成す集合 C([0,1]) において稠密で、距離空間としての C([0,1]) の Gδ-部分集合を含む

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/17 15:39 UTC 版)

「可縮空間」の記事における「例と反例」の解説

任意のユークリッド空間は可縮である。ユークリッド空間上の任意の星型領域も可縮である。 ホワイトヘッド多様体（英語版）は可縮である。 任意有限次元の球面は可縮でない。 無限次元ヒルベルト空間の単位球面は可縮である（英語版）。 部屋が2つある家（英語版）は、直感的にはそう思えないが可縮である空間の標準的な例である。 Dunce hat（英語版） Hawaiian earring（英語版）上の錐は（錐なので）可縮だが、局所可縮ではなく、局所単連結ですらない。 すべての多様体とCW複体は局所可縮だが、一般には可縮ではない。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 14:36 UTC 版)

「漸近的に平坦な時空」の記事における「例と反例」の解説

孤立した物体をモデル化した時空のみが漸近的平坦性を満たす。たとえば均一な時空である FRW ダストモデルは漸近的に平坦な時空とは対極にある。 漸近的に平坦な時空の単純な例としてシュワルツシルト真空が挙げられる。より広くは、カー解も漸近的平坦性を満たす。しかし、もう一つの良く知られたシュワルツシルト真空の一般化である NUT 真空は漸近的平坦性を満たさない。より単純な一般化であり、ド・ジッター宇宙に置かれた球対称の有限質量物体をモデル化するシュワルツシルト・ドジッター・ラムダ真空解（英語版）（またはケトラー解）は漸近的に平坦ではない。 一方、漸近的平坦性を満たすものとして、ワイル真空およびそれに回転を加えた一般化であるエルンスト真空（静的かつ軸対象で漸近的に平坦な真空解全般）が重要である。これらの多様体は大幅に単純化された偏微分方程式系の解空間を成し、計量を明示的に（たとえば回転楕円体チャート上で）多重極展開（英語版）により書き下すことができる。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/18 07:17 UTC 版)

「リース空間」の記事における「例と反例」の解説

実数全体の成す集合 R は通常の大小関係 "≤" に関してリース空間を成す。 実数の n-組全体の成す集合 Rn は成分ごとの大小関係から定まる順序に関してリース空間を成す。 実数列全体の成す集合 RN は成分ごとの大小関係から定まる順序に関してリース空間を成す。 0 に収斂する実数列全体の成す集合 c0 は成分ごとの大小関係から定まる順序に関してベクトル束を成す。 1 ≤ p < ∞ なる p に対する、p-乗総和可能実数列の全体の成す集合 lp は成分ごとの順序から定まる順序に関してベクトル束を成す。 有界実数列全体の成す集合 l∞ は成分ごとの大小関係から定まる順序に関してベクトル束を成す。 集合 X 上のコンパクト台つき実数値連続函数の全体の成す集合 Cc(X; R) は、点ごとの大小関係で定まる半順序 f ≤ g ⟺ f ( x ) ≤ g ( x )  for  ∀ x ∈ X に関してベクトル束を成す。 区間 [a, b] 上の連続函数全体の成す集合 C[a, b] は点ごとの大小関係で定まる半順序に関してベクトル束を成す。 区間 [a, b] 上の連続的微分可能函数全体の成す集合 C1[a, b] は順序線型空間を成すが、ベクトル束にはならない。