円 (数学) 円 (数学)の概要

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円 (数学)

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この項目では、数学における図形の「円」について説明しています。 日本の現行通貨については「円 (通貨)」をご覧ください。 その他の用法については「円」をご覧ください。

円
円   円周 C   直径 D   半径 R   中心または原点 O
種類	円錐曲線
対称性群	O(2)
面積	πR2

その「定点　Ｏ（オー）」を円の中心という。円の中心と円周上の 1 点を結ぶ線分や、その線分の長さは半径という^[1][2]

円は定幅図形の一つ。

なお円が囲む部分すなわち「円の内部」を含めて「円」ということもある。この場合、厳密さを必要とする時は、境界となる曲線のほうは「円周 (circumference)」 という。これに対して、内部を含めていることを強調するときには「円板 (disk)」 という。また、三角形、四角形などと呼称を統一して「円形」ということもある。

習慣的に、とりあえず円をひとつ挙げその中心に名称をつける時は「Ｏ （オー）」と呼ぶことが多い。これは原点を英語で「オリジン（英: Origin）」というのでその頭文字をとったものである。中心が点Ｏである円は「円Ｏ（えんオー）」と呼ぶ。なお中心は英語では「センター（英: Center）」というので、円の中心が「C（シー）」になっている文献もある^[3]。

なお、数学以外の分野ではこの曲線のことを（あるいはそれに近い卵形の総称として）「丸（まる）」という俗称で呼称することがある。

円: 中心、半径・直径、円周

円の性質

弦と弧

円周と2 点で交わる直線を割線という。このときの交点を 2 点 A, B とするとき、円周によって、割線から切り取られる線分 AB のことを弦といい、弦 AB と呼ぶ。特に円の中心を通る割線を中心線という。中心線は円の対称軸であり、円の面積を 2 等分する。円周が中心線から切り取る弦やその長さを、円の直径という。直径は半径の 2 倍に等しい。円周の長さは、円の大きさによってさまざまであるが、円周の長さの直径に対する比の値は、円に依らず一定であり、これを円周率という。特に断りのない限り、普通、円周率は π で表す。円の半径を r(半径の英語 radiusの頭文字が由来) とすると、円周の長さは 2πr で表される。また、円の面積は、πr ² で表すことができる。同じ長さの周を持つ閉曲線の中で、面積が最大のものである。（等周問題）

中心角と円周角

一方、円周は割線によって 2 つの部分に分けられる。このそれぞれの部分を 円弧 (arc) または単に弧という。

2つの弧の長さが等しくないとき、長い方の弧を 優弧 (major arc)、短い方の弧を劣弧 (minor arc) という。

2つの弧の長さが等しいとき、これらの弧を 半円周 という。このとき、割線は円の中心を通る中心線である。

円周上の2点 A, B を両端とする弧を弧 AB と呼ぶ。記号では、A͡B と表記する（記号 ⌒ は AB の上にかぶせて書くのが正しい）。これでは優弧・劣弧のどちらであるかを指定できていないデメリットがあり、一方を特定したい場合は、その弧上の点 P を用いて 弧APB のように表記する。

円 O の周上に2点 A, B があるとき、半径 OA, OB と弧 AB とで囲まれた図形を扇形 (sector) O-A͡B という。また、扇形に含まれる側の ∠BOA を弧 AB を見込む中心角という。一つの円で考えるとき、中心角とその角が見込む弧の長さは比例する。同様に、中心角とその角が切り取る扇形の面積も比例する。

弦 AB と弧 AB で囲まれた図形を弓形 (segment) という。

中心角と円周角

弧 AB に対して、弧 AB 上にない円 O の周上の点 P を取るとき、∠APB を弧 AB に対する円周角という。弧 AB に対する円周角は点 P の位置に依らず一定であり、中心角 AOB の半分に等しい（円周角の定理）。特に弧 AB が半円周のときは、弧 AB に対する円周角は直角である（直径を見込む円周角:ターレスの定理）。

円と内接四角形

円 O の周上に 4 点 A, B, C, D があるとき、四角形 ABCD は円 O に内接するという（内接四角形）。このとき、円 O を四角形 ABCD の外接円という。四角形が円に内接するならば、四角形の対角の和は平角に等しい（内接四角形の定理）。円に内接する四角形の外角の大きさは、その内対角の大きさに等しい。また、これらの逆も成立する（四点共円定理、内接四角形の定理）。

接弦定理

円周と直線が1つの共有点を持つとき、その直線を円の接線 (tangent) といい、共有点を接点という。円の中心と接点を結ぶ半径（接点半径）は、接線と接点で直交する。

円の外部の点 A から円 O に2つの接線が描ける。この接点を S, T とすると、線分 AS, AT の長さを接線の長さという。接線の長さは等しい。円の接線とその接点を通る弦が作る角は、その角の中にある弧に対する円周角に等しい（接弦定理）。すなわち、下図で AT が接線ならば、∠BAT = ∠APB である。接弦定理は逆も成立する。

円の接吻数は6である。このことの完全な証明は1910年までできなかった。^[要出典]

2円の位置関係

半径が異なる2円の位置関係

位置関係

2つの円（円 A, 円 B とする）の位置関係は次の場合に分けられる。

1. 円 A が円 B の内部にある場合 : 円 B は円 A を内包するという。特に、中心の位置が一致するとき、この2円を同心円と呼ぶ。
2. 円 A が円 B の周または内部にあり、1点のみを共有する場合 : 円 A は円 B に内接するという。
3. 2円が異なる2点を共有する場合 : 2円は2点で交わるという。この2点を結ぶ弦を共通弦という。
4. 2円が互いの周または外部にあり、1点のみを共有する場合 : 円 A は円 B に外接するという。
5. 2円が互いの外部にあり、共有点がない場合 : 2円は離れているという。

共通弦の性質

直線ＸＹを共通弦とする正円をＡ・Ｂ、Ｘを包みＹを外にする正円をＣ、Ｙを包みＸを外にする正円をＤ、ＡＣの共通弦とＢＣの共通弦の交点をＥ、ＡＤの共通弦とＢＤの共通弦の交点をＦ、とした時、ＥとＦはＸＹの線上にある。

三角形の三辺の位置と長さそのものを直径とする三つの円によって生じる３本の共通弦は、その三角形の３本の頂垂線となる。

1. 既定の共通弦を持つ2円(A・B)と、その共通弦の一端のみを包む任意の別の円Cとの間にできる2本の共通弦(ACとBCの共通弦)の交点は、ABの共通弦上に存在する。
2. 三角形の三辺の位置と長さそのものを直径とする三つの円によって生じる３本の共通弦は、その三角形の３本の頂垂線となる。

共通接線

2つの円に共通する接線を共通接線という。

特に、2円が共通接線に関して、同じ側にあるとき共通外接線、異なる側にあるとき共通内接線という。

上記の場合分けにおいて、描ける共通接線の個数は、

1. なし
2. 共通外接線1本
3. 共通外接線2本
4. 共通内接線1本、共通外接線2本の計3本
5. 共通内接線2本、共通外接線2本の計4本

のいずれか。

円の方程式

半径 r ≔ 1, 中心 (a, b) ≔ (1.2, −0.5) の円

解析幾何学において、(a, b) を中心とする半径 r の円は $${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$$

異なる p に対する p-ノルム単位円を図示したもの。

「定点からの距離が一定である点全体の成す集合」として円を定義するならば、定義に用いる「距離」の定義を変えれば異なる形状の「円」を考えることができるということになる。p-ノルム（英語版）の誘導する距離は $${\displaystyle \|x\|_{p}:=(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p})^{1/p}}$$

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