三角行列 特徴的な性質

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三角行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/12 19:16 UTC 版)

特徴的な性質

正規三角行列は対角行列である。これは正規三角行列 A に対して A*A および AA* の対角成分を見ればわかる。

上三角行列の転置行列は下三角であり、下三角の転置は上三角である。

三角行列の行列式は対角成分の積である。任意の三角行列 A に対して λI − A もまた三角行列で、その行列式は A の固有多項式であるから、実は A の対角成分の全体は A の固有値全体の成す多重集合を与える（重複度 m の固有値はちょうど m 個が対角成分に現れる）。

三角化可能性

三角行列と相似な行列は三角化可能 (triangularizable) であるという。抽象的には完全旗を固定することに同値である。上三角行列とは標準基底 (e₁, …, e_n) により与えられる標準旗

$\langle e_{1}\rangle <\langle e_{1},e_{2}\rangle <\dotsb <\langle e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{n-1}\rangle$

を保つ行列に他ならない。完全旗は互いに共役なので（一般線形群が基底に推移的に作用するから）、ある完全旗を固定する行列は標準旗を固定する行列と相似である。

任意の複素正方行列は三角化可能である。実際には行列 A が、その固有値すべてを含む体（たとえば代数的閉体）上で三角行列と相似であることが示せる。これは帰納法により証明できる。行列 A は固有ベクトルをもつので、その生成系による商空間を考え、帰納法によって完全旗を固定することを示すことにより、その基底に関して三角化可能であることがわかる。より精密な主張がジョルダン標準形の理論により与えることができ、行列は非常に特別な形の上三角行列（ジョルダン標準形）と相似である。けれども、より単純な三角化で多くの場合は用が足りる。いずれにせよジョルダン標準形の存在を示すときには三角化が必要となる。

複素行列の場合には三角化に関してより強い主張ができる。任意の複素正方行列 A はシューア分解をもつ。つまり A が上三角行列とユニタリ同値（ユニタリ行列による基底変換で相似）である。これは完全旗の正規直交基底をとることで得られる。

代数閉体上の互いに可換な正方行列は同時三角化可能である。

一般化

上三角行列全体の成す集合は結合多元環を成すのであった。これは函数解析学においてヒルベルト空間上のnest algebraに一般化される。

主対角線の上（resp. 下）の成分が全て零の非正方行列は、その非零成分が台形に並ぶから、下（resp. 上）台形行列と呼ばれる。

ボレル部分群とボレル部分環

上（resp. 下）正則三角行列全体の成す集合は群、実際にはリー群を成し、正則行列全体の成す一般線型群の部分群となる。三角行列が可逆となるのはちょうどすべての対角成分が可逆つまり非零となるときであることに注意する。

実係数で考えれば、この群は非連結で、各対角成分が正または負となることに応じて 2ⁿ 個の連結成分を持つ。単位成分は対角成分が全て正の正則三角行列全体に等しく、また正則三角行列全体の成す群はこの単位成分の群と対角線上に ±1 が（各連結成分に対応して）並ぶ対角成分との半直積になる。

正則上三角行列全体の成すリー群に付随するリー環は、必ずしも正則でない上三角行列全体の成す集合であり、それは可解リー環である。これらはそれぞれ、一般線型リー群 GL_n の標準ボレル部分群 B および、一般線型リー環 ${\textstyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ の標準ボレル部分リー環と呼ばれる。

上三角行列はちょうど標準旗を固定する行列である。そのなかで正則三角行列の全体は一般線型群の部分群として、その共軛部分群が適当な完全旗 (complete frag) の固定群として定義されるような群である。これらの部分群はボレル部分群と総称される。正則下三角行列全体の成す群がそのような群であることは、それが標準基底を逆順にしたものに対応する標準旗の固定部分群となることからわかる。

標準旗の適当な部分を忘れて得られる部分旗の固定部分群は、区分行列として上三角な（つまり各区分は上三角であるとは限らない）行列の成す集合として記述することができる。そのような部分群の共軛は適当な部分旗の固定部分群として定義される。これらの部分群を放物型部分群と総称する。

例えば、二次の上単三角行列全体の成す群は係数体の加法群に同型である。複素係数の場合にはその群は放物型メビウス変換からなる群に対応する。三次の上単三角行列の全体はハイゼンベルク群を成す。