三角行列 特別なクラス

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三角行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/12 19:16 UTC 版)

特別なクラス

冪単三角行列

主対角成分が全て 1 の三角行列は単三角行列 (uni­triangular) という。単位行列は上半単三角かつ下半単三角なる唯一の行列である。

任意の単三角行列は冪単である。上（resp. 下）単三角行列全体の成す集合はリー群を成す。

冪零三角行列

主対角成分が全て零の三角行列は狭義三角行列であるという。任意の狭義三角行列は冪零行列であり、上（resp. 下）三角行列全体の成す集合は冪零リー環 ${\textstyle {\mathfrak {n}}}$ を成す。このリー環はすべての上（resp. 下）三角行列全体の成すリー環 ${\textstyle {\mathfrak {b}}}$ の導来リー環: ${\textstyle {\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}]}$ であり、かつこのリー環 ${\textstyle {\mathfrak {n}}}$ は上（resp. 下）単三角行列全体の成すリー群のリー環である。

実はエンゲルの定理により、任意の有限次元冪零リー環は狭義上三角行列からなる部分リー環に共軛、すなわち任意の有限次元冪零リー環は狭義上三角行列に同時三角化可能である。

フロベニウス行列

単三角行列が原子的 (atomic; アトミック) とは、ただ一つの列を除いて非対角成分が全て零であるときに言う。そのような行列をフロベニウス行列やガウス行列（ガウス変換行列）などとも呼ぶ。つまり、下半フロベニウス行列は

$$\mathbf {L} _{i}={\begin{bmatrix}1&&&\cdots &\cdots &&&0\\0&\ddots &&&&&&\\&\ddots &1&&&&&\\\vdots &&0&1&&&&\vdots \\\vdots &&&\ell _{i+1,i}&1&&&\vdots \\&&\vdots &\vdots &0&\ddots &&\\&&&\vdots &\vdots &\ddots &1&\\0&\dotsb &0&\ell _{n,i}&0&\dotsb &0&1\end{bmatrix}}$$

という形をしている。フロベニウス行列の逆行列はふたたびフロベニウスで、もとのフロベニウス行列の非対角成分をすべて符号反転したものによって与えられる。