近傍

デジタル大辞泉

きん‐ぼう〔‐バウ〕【近傍】

読み方：きんぼう

１ 近辺。付近。「―の村」

２ 幾何学で、点Pを中心として任意の半径で円を描いたとき、その円内の点全体の集合をPの近傍という。

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近傍 (位相空間論)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2026/08/22 10:01 UTC 版)

平面上の集合 V が点 p の近傍であるのは、p を中心とする小さな円板が V に含まれるときである。

矩形の頂点に対して、その円板は近傍でない。

数学の位相空間論周辺分野でいう近傍（きんぼう、英: neighborhood, 独: Umgebung, 仏: voisinage）は位相空間の基本概念の一つで、直観的に言えば与えられた点を含む集合で、その点を少しくらい動かしてもその集合から外に出ないようなものをいう。

近傍の概念は開集合と内部の概念と密接な関連がある。

定義

位相空間 X と X の点 p に対して、p の近傍とは、p を含む X のある開集合 U を含むような X の部分集合

${\\displaystyle V(\\supseteq U\\ni p)}$

平面上の集合 S と S の一様近傍 V

距離空間 (X, d) において、X の部分集合 V が X の点 p の近傍であるとは、p を中心とする半径 r の開球体

${\\displaystyle B_{r}(p)=B(p;r)=\\{x\\in X\\mid d(x,p)<r\\}}$

で、V に含まれるようなものが存在することをいう。

V が X の部分集合 S の一様近傍であるとは、正の実数 r > 0 が存在して、S の任意の点 p に対して

${\\displaystyle B_{r}(p)=\\{x\\in X\\mid d(x,p)<r\\}}$

が V に含まれるときにいう。

各 r > 0 に対して、集合 S の r-近傍 S_r とは S からの距離が r より小さいような X の点全体の成す集合をいう。これは S の各点を中心とする半径 r の開球体全体の和集合が S_r であるといっても同じである。

従って直接的に、r-近傍が一様近傍であること、および、ある集合が一様近傍であるための必要十分条件が、その集合が適当な値の r に対する r-近傍を含むことであることなどが分かる。

例

実数全体の成す集合 R 上に通常のユークリッド距離を入れたものを考え、部分集合 V を

${\\displaystyle V:=\\bigcup _{n\\in \\mathbb {N} }B(n;\\,1/n)}$

で定めると、V は自然数全体の成す集合 N の近傍であるが、一様近傍ではない。

近傍系の定める位相

上述の定義は開集合が既に与えられているときには有用であるが、そうでない場合にも位相を定義する方法は複数存在しており、先に近傍系を定義しておいてそれを用いて開集合を「その各点の近傍が常に含まれる集合」として定義することも可能である。

X 上の近傍系とは、X の各点に X の部分集合からなるフィルター N(x) で以下の条件を満足するものを割り当てたものである。

1. 点 x は N(x) のどの元 U にも含まれる。 ${\\displaystyle \\forall U\\in N(x):\\ x\\in U}$
2. N(x) の各元 U について N(x) の元 V で V の各元 y に対して U が N(y) に属するようなものが存在する。（上の条件により y は U に含まれるので V は U に含まれる） ${\\displaystyle \\forall U\\in N(x),\\ \\exists V\\in N(x):\\ \\forall y\\in V,\\ U\\in N(y)}$

この定義と先の定義とは両立する。すなわち、開集合系を使って定義される近傍系から得られる位相は元々の位相と一致し、かつ逆に近傍系から得られる位相に関する開集合系によって位相を定めたものも元々の位相に一致する。

一様近傍

一様空間 (X, δ) において、X の部分集合 V が X の点 P の一様近傍であるとは、P が X ∖ V に近くないこと、つまり P と X ∖ V をともに含む近縁が存在しないことをいう。

穴あき近傍

点 p の穴あき近傍 (punctured neighborhood) は、p の近傍から {p} を除いた集合を言う。例えば、区間 (−1, 1) = {y : −1 < y < 1} は点 p = 0 の近傍であるから、集合

${\\displaystyle (-1,0)\\cup (0,1)=(-1,1)\\setminus \\{0\\}}$

は点 0 の穴あき近傍となる。与えられた点の穴あき近傍は実際にはその点の近傍ではないことに留意すべきである。穴あき近傍の概念は解析学における函数の極限の定義に現れる。

関連項目

• 管状近傍

参考文献

• Kelley, John L. (1975). General topology. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387901256 
• Bredon, Glen E. (1993). Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387979263 
• Kaplansky, Irving (2001). Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. ISBN 0821826948 

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近傍

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/05 20:21 UTC 版)

「位相空間」の記事における「近傍」の解説

本節では近傍の定義を述べ、その基本的な性質を述べる。近傍はすでに述べたように位相空間における収束の概念を定義するのに用いられるが、それ以外にもある点xの周りの局所的な性質を記述する際に広く使われている。

Wiktionary日本語版（日本語カテゴリ）

近傍

出典:『Wiktionary』 (2021/08/21 13:52 UTC 版)

名詞

近傍（きんぼう）

1. 近くの場所。
   • 奥に松山を控えているだけこの港の繁盛は格別で、分けても朝は魚市が立つので魚市場の近傍の雑踏は非常なものであった。（国木田独歩「忘れえぬ人々」）〔1898年〕^[1]
   • 春のころ田や池の近傍を散歩すると水の中に蛙の卵がいっぱいにあるのを見るが、これだけの卵がみなかえって蛙になったら実におる場所があるまいと思われる。（丘浅次郎「生物学より見たる教育」）〔1902年〕^[2]
2. （数学）位相空間の点について、その点を含む開集合を少なくともひとつ含む、その位相空間の部分集合。位相空間を E、その位相を T、E 上の点を p とし、T を構成する開集合 U で p ∈ U ⊆ V を満たすものがあるとき、そのような E 上の部分集合 V を p の近傍という。

類義語

• 語義1：近辺、付近、近所、近隣、界隈

派生語

• 語義2：開近傍、閉近傍

翻訳

語義1

• 英語:vicinity

語義2

• 英語:neighborhood

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「近傍」の例文・使い方・用例・文例

• 昨夜の火事で近傍は電車が不通になった
• この近傍に学校が無いか
• 東京近傍
• 御近傍へ越して来ました
• ごく近傍