対数関数

デジタル大辞泉

たいすう‐かんすう〔‐クワンスウ〕【対数関数】

読み方：たいすうかんすう

aを1でない正の数とするとき、xを正の数として、y＝log_axで定められる関数。指数関数の逆関数。

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対数

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対数（たいすう、英: logarithm）とは、ある数 x を数 b の冪乗 b^p として表した場合の冪指数 p である。この p は「底を b とする x の対数（英: logarithm of x to base b; base b logarithm of x）」と呼ばれ、通常は log_b x と書き表される。また、対数 log_b x に対する x は真数（しんすう、英: antilogarithm）と呼ばれる。数 x に対応する対数を与える関数を考えることができ、そのような関数を対数関数と呼ぶ。対数関数は通常 log と表される。

通常の対数 log_b x は真数 x, 底 b を実数として定義されるが、実数の対数からの類推により、複素数や行列などの様々な数に対してその対数が定義されている。

実数の対数 log_b x は、底 b が 1 でない正数であり (b ≠ 1, b > 0)、真数 x が正数である場合 (x > 0)^{[注釈 1]} について定義される。 これらの条件を満たす対数は、ある x と b の組に対してただ一つに定まる。

実数の対数関数 log_b x は底 b に対する指数関数 b^x の逆関数である。この性質はしばしば対数関数の定義として用いられるが、歴史的には対数の出現の方が指数関数よりも先である^{[1][注釈 2]}。

対数関数のグラフの底を変えたときの様子。緑の曲線は底が 10、赤の曲線は底がネイピア数 e ∼ 2.7、紫の曲線は底が 1.7 の対数である（底 10 の対数は常用対数、底 e の対数は自然対数と呼ばれる）。すべての曲線は点 (1, 0) を通り、y 軸を漸近線に持つ。

定義

一般には複素数でも定義されるが、その解説は自然対数の項目にゆずる。

指数関数を用いた定義

1 でない正の実数 a および正の実数 x に対し

${\displaystyle x=a^{p}}$

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