曲面のリーマン・ロッホの定理
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/30 07:45 UTC 版)
曲面のリーマン・ロッホの定理(Riemann–Roch theorem for surfaces)は代数曲面上の線形系の次元を記述する定理である。曲面のリーマン・ロッホの定理の古典的な形は、最初、Castelnuovo (1896, 1897)により与えられ、またNoether (1886) や Enriques (1894)にも見られる。層の理論のバージョンは、ヒルツェブルフによる。
定理の主張
X を非特異射影曲面とし、D を X 上の因子、K を X の標準因子とする。このとき D に対応する直線束を O(D) とし、それを係数にもつコホモロジーのオイラー数を χ(O(D)) とすると、
がなり立つというのが定理である。ここでドット . は交叉数(交点数ともいう)とし、定数 χ(0) は自明バンドルの正則オイラー標数であり pa を曲面の算術種数とすると これは 1 + pa に等しい。比較のため、曲線のリーマン・ロッホの定理は、 χ(D) = χ(0) + deg(D)と言っている。必要であれば、セール双対性を使い h2(O(D)) を h0(O(K − D)) として表すことができるが、曲線の場合と異なり、一般には h1(O(D)) の項を層コホモロジーを含まない形に書くことは簡単ではない(実際は、よく 0 となる)。
ネターの公式
ネターの公式(Noether formula)は、
である。ここで ci はそれぞれ X の接束のチャーン類である。これによりリーマン・ロッホの定理の中の項 χ(O) を位相的な不変量に置き換えることができる。ネターの公式およびリーマン・ロッホの定理はヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理の特別な場合である。これについて詳しくはヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理のページを参照せよ。
古典的定式化
初期の時点においては層係数の 1 次コホモロジー群を幾何学に記述できなかったため、曲面のリーマン・ロッホの定理は不等式で記述された。典型的な例は、Zariski (1995, p. 78)であたえられ、そこでは次のように記載されている。
ここに、
- r は因子 D の完備一次系 |D| の次元である(従って r = h0(O(D)) −1 である)
- n は D の仮想次数で、自己交叉数 (D.D) で与えられる
- π は D の仮想種数で、1 + (D.D + K)/2 に等しい
- pa は曲面の算術種数 χ(OF) − 1 である
- i は D の特性インデックスで、H0(O(K − D)) の次元に等しい(セール双対性により、H2(O(D)) の次元に等しい)
この不等式の両辺の間の差は、因子 D の過剰度(superabundance) s と言う。この不等式をリーマン・ロッホの定理の層の理論のバージョンと比較して、D の過剰度は s = dim H1(O(D)) で与えられる。因子 D は i = s = 0 (言い換えると O(D) すべての高次コホモロジー群がゼロとなる)のとき正規、s > 0 のときsuperabundantであるという。
参考文献
- Topological Methods in Algebraic Geometry by Friedrich Hirzebruch ISBN 3-540-58663-6
- Zariski, Oscar (1995), Algebraic surfaces, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58658-6, MR1336146
「Riemann–Roch theorem for surfaces」の例文・使い方・用例・文例
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- 着手する; 〔…の〕端緒を開く 〔for〕.
- 紺 《Oxford 大学およびその選手の色標》.
- 〔音楽会などへの〕優待券, 招待券 〔to, for〕.
- 等位接続詞 《and, but, or, for など; ⇔subordinate conjunction》.
- 【文法】 相関語 《either と or, the former と the latter など》.
- [for a] holiday to [in] France last year. 昨年は休暇をとってフランスへ旅行した.
- (最も奥の), foremost (真っ先の).
- 新大学, 1960 年以降に創設された大学, 板ガラス大学 《Oxford, Cambridge のような石造りの ancient universities, 19 世紀に創設された London 大学のような赤れんが造りの redbrick universities に対して言う; 建築様式がふんだんに plate glass を使ってモダンなことから》.
- コンセプション岬 《California 州にある》.
- être for this policy? この政策はどんな存在理由があるのか.
- から Oxford へ通ずる)オックスフォード街道.
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