Ck 埋め込み定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:16 UTC 版)
「ナッシュの埋め込み定理」の記事における「Ck 埋め込み定理」の解説
ナッシュの原論文に現れている技術的ステートメントは次のとおりである。M を与えられた m 次元リーマン多様体（解析的、もしくは、Ck級、3 ≤ k ≤ ∞）とすると、ある数 n（M がコンパクト多様体であれば n ≤ m (3m + 11) / 2, M が非コンパクト多様体であれば n ≤ m (m + 1)(3m + 11) / 2）と、単射関数 ƒ: M → Rn（また解析的もしくは Ck 級）が存在し、以下の条件を満たす。M のすべての点 p に対し、微分 dƒp は、接空間 TpM から Rn への線型写像であるが、これは TpM 上の与えられた内積と Rn の標準内積について次の意味で整合性をもつ。すなわち、TpM のすべてのベクトル u, v に対して ⟨ u , v ⟩ = d f p ( u ) ⋅ d f p ( v ) {\displaystyle \langle u,v\rangle =df_{p}(u)\cdot df_{p}(v)} が成り立つ。これは、偏微分方程式の非決定系である。 ナッシュは、にロバート・ソロヴェイ (Robert M. Solovay) との後の会話 において、非コンパクトな多様体の場合の埋め込む空間の次元の充分な値を導出する元々の議論の誤りについて言及している。 ナッシュの埋め込み定理は、多様体全体が Rn の中へ埋め込まれると意味で、大域的な定理である。局所的な埋め込み定理ははるかに簡単であり、多様体の座標近傍において解析学の陰関数定理を用いて証明できる。大域的な埋め込み定理の証明は、陰関数定理のナッシュによる大きな一般化や、ナッシュ・モーザーの定理（英語版）や、前提条件を持つニュートン法に依存している。埋め込み問題のナッシュの解法の基本的なアイデアは、上記の偏微分方程式系の解の存在を証明するためにニュートン法を使うことである。標準的なニュートン法をその系に適用すると発散によりうまくいかない。ナッシュは、ニュートンの逐次近似を収束させるために、畳み込みにより定義された smoothing operator を用いる。このテクニックが解をもたらすという事実は、それ自身が存在定理であり独立した興味の対象である。（smoothing operator を導入することなく）ニュートン法を直接使うカントロヴィッチの逐次近似(Kantorovich iteration)と呼ばれるより古い手法もある。
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