連続の方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/01 22:16 UTC 版)
連続体を空間表記したとき、時刻tにおける空間上の点xでの連続体の密度をρ=ρ(x,t)とする。 空間内の領域Vを考え、 Vの境界∂V上の微小な面dSとその法線ベクトルnに対し、微小時間ΔtにdSからVの外へ流出する粒子の総質量は ρ v ⋅ n Δ t d S {\displaystyle \rho \mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \Delta t\operatorname {d} S} であるので、空間内の領域Vの質量のΔt秒間での増加量は質量保存の法則より、 ∫ V ∂ ρ ∂ t Δ t d V = − ∫ ∂ V ρ v ⋅ n Δ t d S = − ∫ V ∇ ⋅ ( ρ v ) Δ t d V {\displaystyle \int _{V}{\partial \rho \over {\partial t}}\Delta t\operatorname {d} V=-\int _{\partial V}\rho \mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \Delta t\operatorname {d} S=-\int _{V}\nabla \cdot (\rho \mathbf {v} )\Delta t\operatorname {d} V} である。ここで第二の等号はガウスの発散定理より従う。Vの任意性により、連続体は以下の連続の方程式を満たさねばならないことが結論づけられる： ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v ) = 0 {\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\boldsymbol {v}})=0} (B1)式より、物質微分を使えば連続の方程式は D ρ D t + ρ ∇ ⋅ v = 0 {\displaystyle {\operatorname {D} \rho \over {\operatorname {D} t}}+\rho \nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0} (C1) とも書ける。
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連続の方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/29 21:54 UTC 版)
この法則を連続の方程式の形で表すと、 ∂ ρ ( r , t ) ∂ t + ∇ ⋅ j ( r , t ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho ({\boldsymbol {r}},t)}{\partial t}}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}},t)=0} ここで ρ は電荷密度、j は電流密度 この法則はマクスウェルの方程式から導き出せる。
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