広義の連続の方程式の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:29 UTC 版)
「連続の方程式」の記事における「広義の連続の方程式の導出」の解説
領域 Ω における物理量 q の総量 M の時間変化を q の生成と流出と合わせて図示したもの。代表点のみの軌跡を記している。青い点の個数はΩにおけるq の総量 M (t ) を表す。ピンクの点の個数は湧き出し Δt S を、黄色の点は流れだす流量 Δt J を表す。図より Δ M + Δ t J = Δ t S {\displaystyle \Delta M+\Delta tJ=\Delta tS} ( 6 − 5 ) + 3 = 4 {\displaystyle (6-5)+3=4} が成り立つ事がわかる。 広義の連続の式をフラックス形式あるいは一般の保存則という。q をあるスカラー物理量、Ωを固定された有界積分領域、∂ΩをΩの境界である閉曲面とする。 q についての連続の式は、 領域 Ω における q の単位時間あたりの増加量 d M d t {\displaystyle {\mathrm {d} M \over \mathrm {d} t}} と 境界 ∂Ω における q の単位時間あたりの流出量（流量） J との和は、 領域Ωにおける q の単位時間あたりの湧き出し量 S に等しい。 d M d t + J = S {\displaystyle {\mathrm {d} M \over \mathrm {d} t}+J=S} と表現できる。 ここで q は連続的に分布する量であり、上述の量はすべて何らかの「密度量」で表現できなければいけない。そこで、q の密度 ρ、q の流束 j 、q の湧き出し密度 σ を導入すると、 M = ∫ Ω ρ d V J = ∮ ∂ Ω j ⋅ d S S = ∫ Ω σ d V {\displaystyle {\begin{aligned}M&=\int _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V\\J&=\oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}\\S&=\int _{\Omega }\sigma \mathrm {d} V\end{aligned}}} と表せる。ここで、dS は、境界 ∂Ω 上の微小素片における外向きの面積ベクトルであり、第2式は流束と面積ベクトルとの積の総和が境界を通って流れ出す q の流量であることを表している。 これにより連続の式は d d t ∫ Ω ρ d V + ∮ ∂ Ω j ⋅ d S = ∫ Ω σ d V {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\int _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V+\oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=\int _{\Omega }\sigma \mathrm {d} V} となる。 ガウスの定理を使って第2項を体積積分で書き換え、第1項の時間微分と体積積分を交換すると ∫ Ω { ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j − σ } d V = 0 {\displaystyle \int _{\Omega }\left\{{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}-\sigma \right\}\mathrm {d} V=0} となるので、微分形 ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = σ {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=\sigma } が得られる。 特に、湧き出しがないときの連続の式 ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0} を保存形、あるいは、q の保存則の微分形と呼ぶ。
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