輸送定理による導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:29 UTC 版)
速度が v で表される流れにおける連続の方程式は、質量保存則とレイノルズの輸送定理を用いても導ける。 0 = d d t ∫ Ω ( t ) ρ d V = ∫ Ω ( t ) ( D ρ D t + ρ ∇ ⋅ v ) d V {\displaystyle 0={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\int _{\Omega (t)}\rho \,dV=\int _{\Omega (t)}\left({D\rho \over Dt}+\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}\right)dV} ここで、 D D t {\displaystyle {D \over Dt}} は実質微分であり、Ω(t ) は流れと共に移動する任意の積分領域とする。1番目の等式は質量保存則を、2番目の等式はレイノルズの輸送定理を表している。 これより、 D ρ D t + ρ ∇ ⋅ v = 0 {\displaystyle {D\rho \over Dt}+\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0} が成立する。 この式は、実質微分の定義 D D t ≡ ∂ ∂ t + v ⋅ ∇ {\displaystyle {D \over Dt}\equiv {\partial \over \partial t}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla } と公式 ∇ ⋅ ( ρ v ) = ρ ∇ ⋅ v + v ⋅ ∇ ρ {\displaystyle \nabla \cdot \left(\rho {\boldsymbol {v}}\right)=\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \rho } を使って、 ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v ) = 0 {\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\boldsymbol {v}})=0} と等価であることがわかる。
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