連続の式の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:29 UTC 版)
シュレディンガー方程式とその複素共役の式 i ℏ ∂ Ψ ∂ t = − ℏ 2 2 m ∇ 2 Ψ + U Ψ , − i ℏ ∂ Ψ ∗ ∂ t = − ℏ 2 2 m ∇ 2 Ψ ∗ + U Ψ ∗ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ,\\-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi ^{*}\end{aligned}}} それぞれに Ψ* , Ψ をそれぞれ掛けて2式の差を取ると i ℏ Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ t + i ℏ Ψ ∂ Ψ ∗ ∂ t = − ℏ 2 2 m Ψ ∗ ∇ 2 Ψ + ℏ 2 2 m Ψ ∇ 2 Ψ ∗ {\displaystyle \mathrm {i} \hbar \Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}+\mathrm {i} \hbar \Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi +{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}} 更に i ℏ ∂ ( Ψ ∗ Ψ ) ∂ t = − ℏ 2 2 m ∇ ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) {\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \left(\Psi ^{*}\Psi \right)}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \left(\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right)} となり、連続の式 ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0} ただし、 ρ = Ψ ∗ Ψ j = ℏ 2 m i [ Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ] {\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\Psi ^{*}\Psi \\{\boldsymbol {j}}&={\frac {\hbar }{2m\mathrm {i} }}\left[\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right]\end{aligned}}} が得られる。
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