連続の方程式の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/29 21:54 UTC 版)
[疑問点 – ノート]微視的な電荷密度及び電流密度は何らかの粒子の集合である[要校閲]。 電荷 qi の粒子が位置 ri にあり速度 vi で運動していたとき、 ρ ( r , t ) = ∑ i q i δ 3 ( r − r i ( t ) ) {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}},t)=\sum _{i}q_{i}\delta ^{3}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))} j ( r , t ) = ∑ i q i v i ( t ) δ 3 ( r − r i ( t ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}},t)=\sum _{i}q_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}(t)\delta ^{3}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))} と表される。ここで δ 3 ( r − r i ) {\displaystyle \delta ^{3}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i})} は、ディラックのデルタ関数を三次元に拡張したもので、r = ( x , y , z )、ri = ( xi , yi , zi )に対し、 δ 3 ( r − r i ) = δ ( x − x i ) δ ( y − y i ) δ ( z − z i ) {\displaystyle \delta ^{3}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i})=\delta (x-x_{i})\delta (y-y_{i})\delta (z-z_{i})} である。 電荷 qi が時間的に変化しないとすれば ∂ ρ ∂ t = ∑ i q i ∂ ∂ t δ 3 ( r − r i ( t ) ) {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\sum _{i}q_{i}{\frac {\partial }{\partial t}}\delta ^{3}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))} = − ∑ i q i v i ( t ) ⋅ ∇ δ 3 ( r − r i ( t ) ) {\displaystyle =-\sum _{i}q_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}(t)\cdot \nabla \delta ^{3}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))} = − ∇ ⋅ j ( r , t ) {\displaystyle =-\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}},t)} 従って、 ∂ ρ ( r , t ) ∂ t + ∇ ⋅ j ( r , t ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho ({\boldsymbol {r}},t)}{\partial t}}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}},t)=0} が成り立つ。
※この「連続の方程式の導出」の解説は、「電荷保存則」の解説の一部です。
「連続の方程式の導出」を含む「電荷保存則」の記事については、「電荷保存則」の概要を参照ください。
- 連続の方程式の導出のページへのリンク
