連続ウェーブレット変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/22 08:37 UTC 版)
「ウェーブレット」の記事における「連続ウェーブレット変換」の解説
連続ウェーブレット変換（英語版）においては、有限なエネルギーを持った信号は、連続な周波数バンドの群（もしくは L 2 ( R ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )} 関数空間の一部) として投影される。得られた周波数成分は、適切な積分によって元の信号を再構成することができる。 部分空間の群は、スケール1の部分空間を拡大縮小（スケール）して生成されたものである。この部分空間は、１つの関数すなわちマザーウェーブレット ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )} をシフトすることによって生成される。一般的なマザーウェーブレットの例は以下のとおりである。 スケールaの部分空間は、以下の式で生成される。(これはベビーウェーブレットと呼ばれることがあるがあまり一般的ではない) ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t − b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({\frac {t-b}{a}}\right)} ただし、aは正の実数でありスケールを決定する。bは任意の実数でありシフトを決定する。(a,b)のペアは、 R + × R {\displaystyle \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} } の上半面において定義される。 関数xをスケールaの部分空間へ投影すると、以下の式で示される。 x a ( t ) = ∫ R W T ϕ { x } ( a , b ) ⋅ ψ a , b ( t ) d b {\displaystyle x_{a}(t)=\int _{\mathbb {R} }WT_{\phi }\{x\}(a,b)\cdot \psi _{a,b}(t)\,db} 但し、WTはウェーブレット係数である。 W T ϕ { x } ( a , b ) = ⟨ x , ψ a , b ⟩ = ∫ R x ( t ) ψ a , b ( t ) ¯ d t {\displaystyle WT_{\phi }\{x\}(a,b)=\langle x,\psi _{a,b}\rangle =\int _{\mathbb {R} }x(t){\overline {\psi _{a,b}(t)}}\,dt} . 信号xの解析のためには、ウェーブレット係数をスケーログラム（英語版）にする。
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連続ウェーブレット変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 01:53 UTC 版)
「ウェーブレット変換」の記事における「連続ウェーブレット変換」の解説
ウェーブレットは以下の許容条件を満たす。即ち、 ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}} を ψ {\displaystyle \psi } のフーリエ変換として、 C ψ = 2 π ∫ d ξ | ξ | − 1 | ψ ^ ( ξ ) | 2 < ∞ {\displaystyle C_{\psi }=2\pi \int d\xi \left|\xi \right|^{-1}\left|{\hat {\psi }}(\xi )\right|^{2}<\infty } もし ψ ∈ L 1 ( R ) {\displaystyle \psi \in L^{1}(\mathbf {R} )} ならば、そのフーリエ変換 ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}} は連続であり、上の許容条件は ψ ^ ( 0 ) = 0 {\displaystyle {\hat {\psi }}(0)=0} つまり ∫ d x ψ ( x ) = 0 {\displaystyle \int dx\,\psi (x)=0} の時にのみ満たされる。この許容条件を満たすウェーブレットに対しウェーブレット変換が以下の様に定義される。 ( T wav f ) ( a , b ) := ∫ d x | a | − 1 / 2 f ( x ) ψ ( x − b a ) ¯ {\displaystyle (T^{\text{wav}}f)(a,b):=\int dx\left|a\right|^{-1/2}f(x){\overline {\psi \left({\frac {x-b}{a}}\right)}}} ここで、 a {\displaystyle a} はscale、 b {\displaystyle b} はtranslationを表す。 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} を、マザーウェーブレットと言う。 元の関数は、以下の式で得られる。 f ( x ) = C ψ − 1 ∫ − ∞ ∞ d a ∫ − ∞ ∞ d b a − 2 ( T wav f ) ( a , b ) ψ ( x − b a ) {\displaystyle f(x)=C_{\psi }^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }da\int _{-\infty }^{\infty }db~a^{-2}(T^{\text{wav}}f)(a,b)\psi \left({\frac {x-b}{a}}\right)} 例えばウェーブレットにはメキシカンハット関数（英語版） ψ ( t ) = ( 1 − t 2 ) exp ( − t 2 / 2 ) {\displaystyle \psi (t)=(1-t^{2})\exp(-t^{2}/2)} や、変形ガウシアン ψ ( x ) = π − 1 / 4 ( e − i x π ( 2 / ln 2 ) 1 / 2 − e − i x π 2 ( 2 / ln 2 ) ) e − x 2 / 2 {\displaystyle \psi (x)=\pi ^{-1/4}(e^{-ix\pi (2/\ln 2)^{1/2}}-e^{-ix\pi ^{2}(2/\ln 2)})e^{-x^{2}/2}} などがある。 連続ウェーブレット変換は、FFT(高速フーリエ変換)を用いて計算できる。数値計算で連続ウェーブレット変換を求める場合、スケールパラメータ a {\displaystyle a} を変化させながら、マザーウェーブレット ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} と信号 f ( x ) {\displaystyle f(x)} のフーリエ変換を計算し、畳み込みを計算した後、逆フーリエ変換によって時間領域に戻す事で連続ウェーブレット変換を求める事が出来る。
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