級数の収束・発散の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/13 07:46 UTC 版)
すべての自然数の逆数和は発散する。（調和級数） 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 1 n → ∞ {\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\to \infty } すべての自然数の逆数の交代和（各項の符号が交代的に入れ替わる級数）は〖ln〗2に収束する。（2の自然対数） 1 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 6 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 1 n = ln 2 {\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-{1 \over 6}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}=\ln 2} すべての正の奇数の逆数の交代和は収束し、 π / 4 {\displaystyle \pi /4} に等しい。（ライプニッツの公式） 1 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − 1 11 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 1 2 n − 1 = π 4 {\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 3}+{1 \over 5}-{1 \over 7}+{1 \over 9}-{1 \over 11}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}={\pi \over 4}} すべての素数の逆数和は発散する。（n番目の素数を p n {\displaystyle p_{n}} とする） 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 11 + 1 13 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 1 p n → ∞ {\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}\to \infty } すべての三角数の逆数和は2に収束する。 1 1 + 1 3 + 1 6 + 1 10 + 1 15 + 1 21 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) 2 = 2 {\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\frac {n(n+1)}{2}}}=2} すべての階乗数の逆数和は収束してネイピア数と等しい。 1 1 + 1 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + 1 120 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = e {\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=e} すべての平方数の逆数和が収束することはバーゼル問題といい、オイラーが肯定的に解決した。これはリーマンゼータ関数の 2 における値 ζ(2) である。 1 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 + 1 36 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 {\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\pi ^{2} \over 6}} すべての2の冪の逆数和は2に収束する。 1 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n − 1 = 2 {\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n-1}=2} すべての立方数の逆数和は収束し、この値 ζ(3) （アペリーの定数）は無理数であることが証明されている。（アペリーの定理） 1 1 + 1 8 + 1 27 + 1 64 + 1 125 + 1 216 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 = 1.2020569 … {\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 8}+{1 \over 27}+{1 \over 64}+{1 \over 125}+{1 \over 216}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}=1.2020569\dots } すべてのフィボナッチ数の逆数和は収束し、この値は無理数であることが証明されている。（フィボナッチ数列の逆数和） 1 1 + 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 8 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 1 F n = 3.359885666 … {\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 8}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}}}=3.359885666\dots }
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