現代版の umbral calculus
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/01/17 03:21 UTC 版)
「陰計算」の記事における「現代版の umbral calculus」の解説
1930年代および1940年代にベル（英語版）はこの種の umbral な論法を論理的に厳密なものにしようと試みたが成功しなかった。組合せ論学者のリオーダン（英語版）は1960年代に出版された著作 Combinatorial Identities でこの手の手法を広く用いた。 別の組合せ論学者ロタは、 L ( y n ) = B n ( 0 ) = B n {\displaystyle L(y^{n})=B_{n}(0)=B_{n}} B n ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) B n − k x k = ∑ k = 0 n ( n k ) L ( y n − k ) x k = L ( ∑ k = 0 n ( n k ) y n − k x k ) = L ( ( y + x ) n ) {\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L(y^{n-k})x^{k}=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}y^{n-k}x^{k}\right)=L((y+x)^{n})} B n ( y + x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) B n − k ( y ) x k {\displaystyle B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}} ∑ k = 0 n ( n k ) B n − k ( y ) x k = ∑ k = 0 n ( n k ) L ( ( 2 y ) n − k ) x k = L ( ∑ k = 0 n ( n k ) ( 2 y ) n − k x k ) = L ( ( 2 y + x ) n ) = B n ( x + y ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L((2y)^{n-k})x^{k}=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(2y)^{n-k}x^{k}\right)=L((2y+x)^{n})=B_{n}(x+y)} と証明できる。後にロタは、このトピックにありがちな三つの同値関係（これらがすべて "=" で書かれていた）を区別しそこなったことで極めて複雑な結果に陥ったことを述べている。 1964年の論文でロタは、ベル数（これは有限集合の分割の総数を数えたものである）の満たす漸化式を構成するために umbral な方法を用いた。 Roman & Rota (1978) は umbral calculus を umbral algebra（陰代数、陰多元環）の研究として特徴づける。これは、変数 x の多項式全体の成すベクトル空間上の線型汎函数全体の成す多元環であり、その積は線型汎函数 L1, L2 に対して ⟨ L 1 L 2 ∣ x n ⟩ = ∑ k = 0 n ( n k ) ⟨ L 1 ∣ x k ⟩ ⟨ L 2 ∣ x n − k ⟩ {\displaystyle \langle L_{1}L_{2}\mid x^{n}\rangle =\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\langle L_{1}\mid x^{k}\rangle \langle L_{2}\mid x^{n-k}\rangle } で定義される。多項式列を、線型汎函数 L による yn の像のなす数列で置き換えるとき、それによりこの umbral 法は特別な多項式に対するロタの一般論の本質的な部分とみることができて、そのような理論こそがある種の現代的なやり方で定義した umbral calculus であるということができる。このような理論の小さなサンプルが二項型多項式列の項およびシェファー列の項に見つかるだろう。 ロタは後に Shen との共著論文において umbral calculus を広く適用し、キュムラントの様々な組合せ論的性質を研究した。
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