歴史上の議論
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/11 04:00 UTC 版)
ゴットフリート・ライプニッツは、早くも1673年に、発散する交代級数である1 − 2 + 4 − 8 + 16 − ...を考察した。左または右で減算することによって、正または負の無限大が得られるので、どちらの答えも誤りであり、全体としては有限であるべきだ、と彼は主張した。 「さて、もしその2つのどちらも不可能であるか、またはむしろその2つのどちらが可能であるかを決めることができないならば、普通に考えて中間を選ぶ。そして、全体は有限の量に等しい。」 ライプニッツは、この級数が和を持つことを完全には断言しなかったが、メルカトルの手法を用いることにより、⅓ に収束するという仮説を確かに推測した 。ある級数が、和として実際に足し合わせることなしに、何らかの有限量と等しくなるという姿勢は、18世紀にはよくあることだったが、現代数学においては全く注目されていない。 クリスティアン・ヴォルフが、1712年半ばにライプニッツのグランディ級数に対する扱いを読んだ後、ヴォルフはその解法にとても喜び、算術平均の手法を 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − ... のような他の級数にも拡張しようとした。手短に言うと、この級数の部分和を最後から2番目の項の関数として表現すると、 (4m + 1)/3 または (−4n + 1)/3 を得る。これらの値の平均は (2m − 2n + 1)/3 であり、無限大において m = n であると仮定すれば、級数の値として 1/3 が得られる。ライプニッツは自分の解法をこのように拡張することはできないだろうと直感し、ヴォルフの考えは面白いがいくつかの理由で無効であると返事を書いた。となりあった部分和の算術平均はどんな値にも収束せず、すべての有限の場合に対して n = 2m であって n = m ではない。一般に、和をもつ級数の項は0に減少しなければならない。1 − 1 + 1 − 1 + ... でさえそのような級数の極限として表現できるのだ。ライプニッツはヴォルフに、考え直して「科学と彼自身にとって価値あるものを生み出す」（"might produce something worthy of science and himself"）ように助言した。
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