正規分布へのあてはめ

統計学用語辞典

正規分布へのあてはめ

例題：
　「表 1 のような度数分布表に，正規分布をあてはめなさい。」

表 1．度数分布表

階級	度数	相対累積度数(%)
40	4	0.94
45	19	5.40
50	86	25.59
55	177	67.13
60	105	91.78
65	33	99.53
70	2	100.00
合計	426

　観察されたデータが正規分布に従うかどうかは，度数分布表を作成することにより行われる。累積相対度数を 正規確率紙と呼ばれるグラフ用紙に描き，それが直線になれば正規分布であることを意味する（正規確率紙は縦軸に累積相対度数 % を目盛るが，その間隔は等間隔ではない。例えば，a% と b% という目盛り間の距離が Pr｛Z ＞ a｝ と Pr｛Z ＞ b｝ の差であるように目盛られている。累積確率 F ( x ) から T 得点を求める表参照）。
　表 1 の度数分布表データをプロットしたものを図 1 に示す。

図 1．正規確率紙による正規性の確認

　しかし，正規確率紙にプロットする方法は目視によるので正確ではない。 解析的には以下のように行う（どの程度よく適合しているかは適合度の検定を行う必要がある）。


計算手順:

1. n 個のケースが，k 個のカテゴリーに分類されているとする。
   例題では，n = 426, k = 7 である。
   
2. 与えられた度数分布表から，母平均と母分散の推定値 ，V を推定する。
   各階級の中心点を Xi，観測度数を fi とすれば，
   
   
   である。
   例題では，平均値 = 57.9312，標準偏差 = 5.1335 である。
   
3. 以下のいずれかの方法をとる。
   注：正規分布とどの程度一致するか（ しないか ）を度数分布図に示すには，方法 B のほうがよい。 ただし，この方法によった場合には，理論度数の合計は n に等しくならない。
   
   • 方法 A ・・・・・面積を計算する　注：正規分布の適合度検定も参照のこと
     
     1. 第 i 階級と第 i + 1 階級の限点を Xi'，その標準化得点を Zi とする。
        
        
     2. 各 Zi から Z ＜ Zi となる確率 Pi を求め，差をとることにより各階級の確率 pi = Pi - Pi-1（ i = 2，3， ... ，k - 1 ）を求める。p1 = Pr｛Z ＜ Z1 ) ，pk = 1 - ( p1 + p2 + … + pk - 1 ) 。
        
     3. 理論度数は，Ei = n pi となる。
     
     
   • 方法 B ・・・・・密度関数から求める
     
     1. 第 i 階級の中心を Xi'，その標準化得点を Zi とする。
        
        
     2. 階級幅を h とすれば，各階級の理論度数は，
        

　下限点，上限点，級中心は図 2 に示すように決める。例題では，測定精度 = 0.1，階級幅 = 5 である。
　z は各階級の上限点に対する標準化得点，z' は級中心に対する標準化得点。

図 2．限点・級中心の定義

　あてはめ結果は以下のようになる。

表 2．正規分布へのあてはめ例（ 方法 A ）

i	fi			x
階級	度数	下限点	上限点	級中心	xfi	x2fi	z	F(z)	理論比	期待値
35	0	34.95	39.95	37.45	0.00	0.00	-3.50	0.0002	0.0002	0.1
40	4	39.95	44.95	42.45	169.80	7208.01	-2.53	0.0057	0.0055	2.3
45	19	44.95	49.95	47.45	901.55	42778.55	-1.55	0.0600	0.0543	23.1
50	86	49.95	54.95	52.45	4510.70	236586.22	-0.58	0.2807	0.2207	94.0
55	177	54.95	59.95	57.45	10168.65	534188.94	0.39	0.6529	0.3722	158.6
60	105	59.95	64.95	62.45	6557.25	409500.26	1.37	0.9142	0.2613	111.3
65	33	64.95	69.95	67.45	2225.85	150133.58	2.34	0.9904	0.0762	32.4
70	2	69.95	74.95	72.45	144.90	10498.01	3.32	0.9995	0.0092	3.9
75	0	74.95	79.95	77.45	0.00	0.00	4.29	1.0000	0.0005	0.2
合計	426				24678.70	1440893.57			1.0000	426.0

図 3．正規分布へのあてはめ例（ 方法 A ）

表 3．正規分布へのあてはめ例（ 方法 B ）

i	fi			x
階級	度数	下限点	上限点	級中心	xfi	x2fi	z'	f(z')	期待値
35	0	34.95	39.95	37.45	0.00	0.00	-3.99	0.0001	0.1
40	4	39.95	44.95	42.45	169.80	7208.01	-3.02	0.0041	1.8
45	19	44.95	49.95	47.45	901.55	42778.55	-2.04	0.0483	20.6
50	86	49.95	54.95	52.45	4510.70	236586.22	-1.07	0.2197	93.6
55	177	54.95	59.95	57.45	10168.65	534188.94	-0.09	0.3869	164.8
60	105	59.95	64.95	62.45	6557.25	409500.26	0.88	0.2638	112.4
65	33	64.95	69.95	67.45	2225.85	150133.58	1.85	0.0696	29.7
70	2	69.95	74.95	72.45	144.90	10498.01	2.83	0.0071	3.0
75	0	74.95	79.95	77.45	0.00	0.00	3.80	0.0003	0.1
合計	426				24678.70	1440893.57			426.0

図 4．正規分布へのあてはめ例（ 方法 B ）