実解析的な議論と語法についての注意
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/14 03:18 UTC 版)
「メビウス変換」の記事における「実解析的な議論と語法についての注意」の解説
実変数に関する（もちろん係数も全て実数の）メビウス変換を考えれば、双曲型でない斜航型変換は存在せず、分類は（円錐曲線と同様に）楕円型、抛物型、双曲型の三種になる。この用語法は、トレースの絶対値の半分 |tr|/2 を変換の離心率として考えることによるものである。2 で割っているのは次元に対する補正であり、恒等変換が離心率 1 となるようにするものである（このような理由から、代わりに tr/n を考えることもある）。また、絶対値をとるのは作用が PSL において ±1 の因子を除いて定まることに対する補正である。あるいはまた、先に述べたと同様に離心率の平方の代わりとしてトレースの平方の半分を用いることもある。これらの分類は（平方を取るのと絶対値を取るのとでは値が違うから、完全に離心率を与えるわけではないけれども）実トレースの場合は一致し、複素トレースの場合には一致しない。同じ用語法が SL(2, R) の元の分類に対しても用いられ、また別のところでも類似の分類が用いられる。斜航的変換は本質的に複素解析的な現象であり、複素的な離心率に対応するものである。
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