実補間法との比較
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/18 15:44 UTC 版)
「リース＝ソリンの定理」の記事における「実補間法との比較」の解説
リース＝ソリンの補間定理とその変形版は、補間された作用素ノルムに関する明確な推定を与える上で有用な道具となる一方、それらには多くの欠点も存在する。欠点にはそれほど問題にならないものもあるが、深刻なものもある。はじめに、リース＝ソリンの補間定理の証明における複素解析的な設定により、スカラー場は C とされることに注意されたい。拡大実数値函数に対しては、この制限は函数を至る所で有界であるように再定義することによって回避することが出来る。可積分函数に関してはほとんど至る所で有界とすればよい。より深刻な問題は、実際、ハーディ＝リトルウッド極大作用素やカルデロン＝ジグムントの補題（英語版）といった多くの作用素には良い終点評価が存在しないことである 前節のヒルベルト変換の場合では、いくつかの中点でのノルム評価を陽的に計算することによって、この問題を回避することが出来た。しかし、このような評価は手間がかかり、一般の場合ではしばしば不可能である。そのような作用素の多くは次の弱型評価（weak-type estimates） μ ( { x : T f ( x ) > α } ) ≤ ( C p , q ‖ f ‖ p α ) q {\displaystyle \mu \left(\{x:Tf(x)>\alpha \}\right)\leq \left({\frac {C_{p,q}\|f\|_{p}}{\alpha }}\right)^{q}} を満たすものであるから、マーシンキウィッツの補間定理（英語版）のような実補間定理がそれらに対してより適切なものとなる。さらに、ハーディ＝リトルウッド極大作用素のような重要な作用素の多くは、劣線型（英語版）であるに過ぎない。これは実補間定理を適用する上では障害にならないが、複素補間定理は非線型作用素を扱うことができない。一方、実補間法は中間の作用素ノルムに関して複素補間法ほど良い評価を与えず、リース図における非対角でも良く振舞わない。マーシンキウィッツの補間定理の非対角版では、ローレンツ空間の構成が求められ、Lp-空間上のノルム評価が得られるとは限らない。
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