不変部分空間の問題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/13 23:33 UTC 版)
アブラハム・ロビンソンとアレン・バーンスタイン(Allen Bernstein)は、ヒルベルト空間上のいかなる多項式的コンパクト線型作用素も不変部分空間を持つことを示すのに、超準解析を用いた。これは不変部分空間の問題（invariant subspace problem）を部分的に解決したもので、超準解析による最初期の非自明な応用（新しい定理の証明）である。 ヒルベルト空間 H {\displaystyle H} 上の所与の作用素 T {\displaystyle T} に対して、 T {\displaystyle T} の反復による H {\displaystyle H} の点 v {\displaystyle v} の軌道を考える。グラム・シュミットの正規直交化法をこの軌道に適用することで H {\displaystyle H} の正規直交系 { e i } {\displaystyle \{e_{i}\}} が得られる。いま { H i } {\displaystyle \{H_{i}\}} を H {\displaystyle H} の"座標"部分空間からなる増大列とする。 T {\displaystyle T} の { e i } {\displaystyle \{e_{i}\}} に関する表現行列 { a i , j } {\displaystyle \{a_{i,j}\}} は殆ど上三角（almost upper diagonal）、つまり、係数 a i + 1 , i {\displaystyle a_{i+1,i}} だけが対角下（sub-diagonal）に於いて非零である。バーンスタインとロビンソンは、もし T {\displaystyle T} が多項式的コンパクトならば、超有限添数 w {\displaystyle w} があって、行列係数 a w + 1 , w {\displaystyle a_{w+1,w}} が無限小となることを示す。次に、 ∗ H {\displaystyle {}^{\ast }H} の部分空間 ∗ H w {\displaystyle {}^{\ast }H_{w}} を考える。もし y ∈ ∗ H w {\displaystyle y\in {}^{\ast }H_{w}} が有限なノルムを持つなら、 ∗ T y {\displaystyle {}^{\ast }Ty} は ∗ H w {\displaystyle {}^{\ast }H_{w}} に無限に近い。 いま T w {\displaystyle T_{w}} を ∗ H w {\displaystyle {}^{\ast }H_{w}} 上の作用素 P w ∘ T {\displaystyle P_{w}\circ T} とする。ここで P w {\displaystyle P_{w}} は ∗ H w {\displaystyle {}^{\ast }H_{w}} への直交射影である。 q {\displaystyle q} を q ( T ) {\displaystyle q(T)} がコンパクトとなるような一次以上の複素係数多項式とする。部分空間 ∗ H w {\displaystyle {}^{\ast }H_{w}} は内的かつ超有限次元である。有限次元複素線形空間における上三角化可能性に対して移行原理を適用することで、 ∗ H w {\displaystyle {}^{\ast }H_{w}} の内的な正規直交基 { e k } k = 1 , … , w {\displaystyle \{e_{k}\}_{k=1,\ldots ,w}} を上手く取ることにより、対応する k {\displaystyle k} -次元部分空間 E k {\displaystyle E_{k}} が ∗ T {\displaystyle {}^{\ast }T} -不変となるようにできる。 Π k {\displaystyle \Pi _{k}} で E k {\displaystyle E_{k}} への射影を表すものとする。ある有限ノルムの非ゼロベクトル x ∈ ∗ H {\displaystyle x\in {}^{\ast }H} に対し、 q ( ∗ T ) x {\displaystyle q({}^{\ast }T)x} は非ゼロ、もしくは | q ( ∗ T ) x | > 1 {\displaystyle |q({}^{\ast }T)x|>1} と仮定して構わない。 q ( T ) {\displaystyle q(T)} がコンパクトであることから、 q ( ∗ T w ) x {\displaystyle q({}^{\ast }T_{w})x} は q ( ∗ T ) x {\displaystyle q({}^{\ast }T)x} に無限に近く、したがって | q ( ∗ T w ) x | > 1 {\displaystyle |q({}^{\ast }T_{w})x|>1} （無限小の緩みを許せば）であることが分かる。いま j {\displaystyle j} を | q ( ∗ T w ) ( Π j ( x ) ) | < 1 2 {\displaystyle |q({}^{\ast }T_{w})\left(\Pi _{j}(x)\right)|<{\tfrac {1}{2}}} なる最大の添字とすれば、 ∗ E j {\displaystyle {}^{\ast }E_{j}} に無限に近い標準元の成す空間が望みの不変部分空間となる。 バーンスタイン＝ロビンソンの論文のプレプリントを読んだ上で、ポール・ハルモスは彼らの証明を標準的な手法で以って再解釈した。 どちらの論文も Pacific Journal of Mathematics の同じ号に立て続けに載っている。ハルモスによる証明で使われた幾つかのアイデアは、もっと後のquasi-triangular作用素に関するHalmosの仕事に再び現れている。
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