不変性原理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/05 07:36 UTC 版)
実数全体の上での通常のルベーグ積分の不変性原理は、すなわち任意の実数εと可積分関数fに関して、次が成り立つことを意味する。 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d λ ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x + ε ) d λ ( x ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,d\lambda (x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x+\varepsilon )\,d\lambda (x)} したがって、 ∫ − ∞ ∞ f ′ ( x ) d λ ( x ) = 0. {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f'(x)\,d\lambda (x)=0.} ここから、f=ghとすると、次が成り立つため、部分積分の公式が示される。 0 = ∫ − ∞ ∞ f ′ d λ = ∫ − ∞ ∞ ( g h ) ′ d λ = ∫ − ∞ ∞ g h ′ d λ + ∫ − ∞ ∞ g ′ h d λ . {\displaystyle 0=\int _{-\infty }^{\infty }f'\,d\lambda =\int _{-\infty }^{\infty }(gh)'\,d\lambda =\int _{-\infty }^{\infty }gh'\,d\lambda +\int _{-\infty }^{\infty }g'h\,d\lambda .} 同様の考えは、Cameron-Martin-Girsanovの方向に沿った確率解析において応用することができる。実際に、 h s {\displaystyle h_{s}} を二乗可積分である予測可能な過程であるとし、以下を仮定する。 φ ( t ) = ∫ 0 t h s d s . {\displaystyle \varphi (t)=\int _{0}^{t}h_{s}\,ds.} X {\displaystyle X} が ウィーナー過程であるならば、Girsanovの定理により次の不変原理のアナロジーが得られる。 E ( F ( X + ε φ ) ) = E [ F ( X ) exp ( ε ∫ 0 1 h s d X s − 1 2 ε 2 ∫ 0 1 h s 2 d s ) ] . {\displaystyle E(F(X+\varepsilon \varphi ))=E\left[F(X)\exp \left(\varepsilon \int _{0}^{1}h_{s}\,dX_{s}-{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}\int _{0}^{1}h_{s}^{2}\,ds\right)\right].} εに関して両側で微分し、ε=0で評価すると、次の部分積分の公式を得る。 E ( ⟨ D F ( X ) , φ ⟩ ) = E [ F ( X ) ∫ 0 1 h s d X s ] . {\displaystyle E(\langle DF(X),\varphi \rangle )=E{\Bigl [}F(X)\int _{0}^{1}h_{s}\,dX_{s}{\Bigr ]}.} ここで、左辺は、 方向 φ {\displaystyle \varphi } での確率変数 F {\displaystyle F} の マリアヴァン微分であり、右辺に出てくる積分は伊藤積分であると解釈される。
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