一般位相幾何学

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位相空間論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/29 14:46 UTC 版)

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位相空間論（いそうくうかんろん、英: general topology）とは、位相空間の性質やその上に定義される構造（位相的構造）を研究対象とする数学の分野である。一般トポロジー、点集合トポロジー（point-set topology）などの名称で言及されることもある。

位相幾何学の多くの分野が多様体や単体的複体のような幾何学的対象の位相的構造を研究するのとは対照的に、病的なものも含めた一般の位相空間を扱い、包括的な理論を形成するのが位相空間論の主目的である。

基本的な定義

位相、あるいは位相空間は集合 X とその開集合系とも呼ばれる部分集合の族 Σ の組 (X, Σ) として与えられる。ここで、Σ の元は X の開集合と呼ばれ、三つの公理

1. 開集合の（任意濃度の）合併もまた開集合である。
2. 開集合の有限個の交叉もまた開集合である。
3. X および空集合 ∅ は開集合である。

を満足する。

歴史

一般位相の研究はいくつかの流れを取りまとめる形で始まった。主なものは

• 実数直線の部分集合についての詳細研究、かつて「点集合に関する位相幾何学」(topology of point sets) と呼ばれていたもの、
• 多様体概念の導入、
• 距離空間論、特にノルム線型空間の研究（後の函数解析学）

などが挙げられる。分野としての位相空間論は1940年頃には成立しており、それにより例えば連続性に関する直観の殆どを、数学の各分野で応用することができるようなものとして、技術的にふさわしい形で捉えることができるようになった。

研究対象

もう少し詳細に、位相空間論における基本概念の定義とそれらに関する定理やその証明について述べる。基本概念としては

• 開集合と閉集合、
• 開核と閉包、
• 近傍と近縁、
• コンパクト性と連結性、
• 連続写像、
• 数列の収斂、有向点族（ネット）とフィルター、
• 種々の分離公理、
• 可算公理（第一可算公理/第二可算公理）

などがある。

他にもより進んだ概念が現れるが、数学のほかの分野への言及なしに、これらの基本概念に直接的に関係するのがふつうである。集合論的位相幾何学 (set-theoric topology) は、そういった概念が集合論に実質的な関係を持つのはいつかというような問題の研究がつきものである。

位相幾何学のほかの主要な分野には代数的位相幾何学、幾何的位相幾何学、微分位相幾何学などがあるが、一般位相幾何学はその名称が示唆するように、それらの分野に対する共通の基盤を与えるものである。

点集合位相幾何学の重要な変形版が非点集合的位相幾何学 (pointless topology, point-free topology) で、これは点集合を基礎とする点集合位相幾何学と異なり、束や特に枠と場所の圏論的研究を通じた位相的概念の構築を行うものである。

位相空間論の記号表

以下、X、Y などは集合を表す。

記号	意味	解説
${\displaystyle {\mathcal {O}},\ {\mathfrak {O}}}$ ウィキブックスに位相空間論関連の解説書・教科書があります。 位相空間の圏 参考文献 出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2023年9月） 位相空間論の標準的な教科書として： Bourbaki; Topologie Générale (General Topology); ISBN 0-387-19374-X, 日本語訳: 森毅、清水達雄ら 訳『位相 1-7』東京図書〈ブルバキ数学原論〉、1968-1969。  John L. Kelley; General Topology; ISBN 0-387-90125-6, 日本語訳: 児玉之宏 訳『位相空間論』吉岡書店〈数学叢書〉、1968年。  James Munkres; Topology; ISBN 0-13-181629-2 Paul L. Shick; Topology: Point-Set and Geometric; ISBN 0-470-09605-5 Ryszard Engelking; General Topology; ISBN 3-88538-006-4 Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR507446  O.Ya. Viro, O.A. Ivanov, V.M. Kharlamov and N.Yu. Netsvetaev; Elementary Topology: Textbook in Problems; ISBN 978-0-8218-4506-6 The arXiv subject code is math.GN. 表 話 編 歴 位相幾何学・トポロジー 分野 一般（点集合） 代数的 組合せ論的（英語版） 連続体 微分 幾何学的 ホモロジー コホモロジー 集合論的（英語版） 主要概念 開集合 / 閉集合 連続性 空間 コンパクト ハウスドルフ 距離 一様 ホモトピー ホモトピー群 基本群 単体複体 CW複体 完全列 ホモロジー代数 K理論 Glossary（英語版） Lists トピックス（英語版） 一般（英語版） 代数的（英語版） 幾何学的（英語版） 出版物（英語版） 急上昇のことば メリハリ センテンススプリング カオス 続柄 図る 英和和英テキスト翻訳 >> Weblio翻訳 英語⇒日本語日本語⇒英語    >> 「一般位相幾何学」を含む用語の索引  一般位相幾何学のページへのリンク 辞書ショートカット 1 ウィキペディア カテゴリ一覧 全て ＋ ビジネス ＋ 業界用語 ＋ コンピュータ ＋ 電車 ＋ 自動車・バイク ＋ 船 ＋ 工学 ＋ 建築・不動産 ＋ 学問 ＋ 文化 ＋ 生活 ＋ ヘルスケア ＋ 趣味 ＋ スポーツ ＋ 生物 ＋ 食品 ＋ 人名 ＋ 方言 ＋ 辞書・百科事典 すべての辞書の索引 あいうえお かきくけこ さしすせそ たちつてと なにぬねの はひふへほ まみむめも やゆよ らりるれろ わをん がぎぐげご ざじずぜぞ だぢづでど ばびぶべぼ ぱぴぷぺぽ ＡＢＣＤＥ ＦＧＨＩＪ ＫＬＭＮＯ ＰＱＲＳＴ ＵＶＷＸＹ Ｚ １２３４５ ６７８９０ 記号 Weblioのサービス 英会話コラム Weblio英会話 英語の質問箱 語彙力診断 スピーキングテスト 「一般位相幾何学」の関連用語 1 研究対象 ウィキペディア小見出し辞書 36% ||||| 2 位相空間論 百科事典 8% ||||| 3 フィルター (数学) 百科事典 6% ||||| 一般位相幾何学のお隣キーワード 一般システム理論 一般ディリクレ級数 一般マニラ 一般人による画像・動画・音声記録の適法性 一般人図鑑 一般会計 一般位相幾何学 一般共変性原理 一般内科 一般化 一般化されたストークスの定理 一般化されたリーマン予想 一般化された原子価結合 検索ランキング 英和和英テキスト翻訳 >> Weblio翻訳     英語⇒日本語 日本語⇒英語     一般位相幾何学のページの著作権 Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。     All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License. この記事は、ウィキペディアの位相空間論 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。 Weblio辞書に掲載されているウィキペディアの記事も、全てGNU Free Documentation Licenseの元に提供されております。 ビジネス｜業界用語｜コンピュータ｜電車｜自動車・バイク｜船｜工学｜建築・不動産｜学問 文化｜生活｜ヘルスケア｜趣味｜スポーツ｜生物｜食品｜人名｜方言｜辞書・百科事典 ご利用にあたって ・Weblio辞書とは ・検索の仕方 ・ヘルプ ・利用規約 ・プライバシーポリシー ・サイトマップ 便利な機能 ・ウェブリオのアプリ ・画像から探す お問合せ・ご要望 ・お問い合わせ 会社概要 ・公式企業ページ ・会社情報 ・採用情報 ウェブリオのサービス ・Weblio 辞書 ・類語・対義語辞典 ・英和辞典・和英辞典 ・Weblio翻訳 ・日中中日辞典 ・日韓韓日辞典 ・フランス語辞典 ・インドネシア語辞典 ・タイ語辞典 ・ベトナム語辞典 ・古語辞典 ・おすすめのプログラミングスクール情報「Livifun」 ©2025 GRAS Group, Inc.RSS      ログイン ※半角英数字、6文字以上、32文字以内で入力してください ログイン パスワードを忘れた方はこちらから 別サービスのアカウントで登録・ログイン アカウントをお持ちでない方 新規会員登録（無料）