リース函数の計算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/10 15:36 UTC 版)
F のマクローリン級数の係数の絶対値は、40番目の項 -1.753×1017 において最大値を取るまで増加である。一方、109番目の項において絶対値は 1 よりも小さくなる。はじめの 1000 個の項を取ることで、 | z | < 9 {\displaystyle |z|<9} に対する F ( z ) {\displaystyle F(z)} の非常に精確な値を得ることが出来る。しかしこの計算を行う際には、次数 1000 の多項式を、大きな分子あるいは分母の係数に対する有理数演算か、100 位を超える浮動小数点計算によって求める必要が生じうる。いずれの方法も、数値計算的に簡単なものではない。 その他の計算手法として、収束加速法（acceleration of convergence）が挙げられる。今 R i e s z ( x ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 x k ( k − 1 ) ! ζ ( 2 k ) {\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}} である。ζ(2k) は k が増大するにつれて 1 に近付くため、この級数は ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 x k ( k − 1 ) ! = x exp ( − x ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!}}=x\exp(-x)} に近付く。実際、リースは次の式を示していた： ∑ n = 1 ∞ R i e s z ( x / n 2 ) = x exp ( − x ) {\displaystyle \ {\sum _{n=1}^{\infty }{\rm {Riesz(x/n^{2})=x\exp(-x)}}}} 。 収束加速法に対するクンマーの方法を使うことで、収束率の改善された R i e s z ( x ) = x exp ( − x ) − ∑ k = 1 ∞ ( ζ ( 2 k ) − 1 ) ( ( − 1 ) k + 1 ( k − 1 ) ! ζ ( 2 k ) ) x k {\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=x\exp(-x)-\sum _{k=1}^{\infty }\left(\zeta (2k)-1\right)\left({\frac {(-1)^{k+1}}{(k-1)!\zeta (2k)}}\right)x^{k}} が得られる。 この手順を続けることで、収束に関するより良い性質を備える、リース函数に対する新たな級数を得ることが出来る： R i e s z ( x ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 x k ( k − 1 ) ! ζ ( 2 k ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 x k ( k − 1 ) ! ( ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n − 2 k ) {\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)n^{-2k}\right)} ∑ k = 1 ∞ ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 ( x / n 2 ) k ( k − 1 ) ! = x ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n 2 exp ( − x n 2 ) . {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}\left(x/n^{2}\right)^{k}}{(k-1)!}}=x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right).} ここで μ はメビウス函数であり、項の再構成は絶対収束によって正当化される。再びクンマーの方法を適用することで、 R i e s z ( x ) = x ( 6 π 2 + ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n 2 ( exp ( − x n 2 ) − 1 ) ) {\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=x\left({\frac {6}{\pi ^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\left(\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)-1\right)\right)} と表すことが出来る。この項は終局的には、n の 1/4 乗によって減少となる。 上述の級数は至る所で絶対収束し、したがって項毎に微分可能であるため、導関数に関する次の式が得られる： R i e s z ′ ( x ) = R i e s z ( x ) x − x ( ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n 4 exp ( − x n 2 ) ) . {\displaystyle {\rm {Riesz}}'(x)={\frac {\rm {Riesz(x)}}{x}}-x\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right).} この式は次のように整理できる： R i e s z ′ ( x ) = R i e s z ( x ) x + x ( − 90 π 4 + ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n 4 ( 1 − exp ( − x n 2 ) ) ) . {\displaystyle {\rm {Riesz}}'(x)={\frac {\rm {Riesz(x)}}{x}}+x\left(-{\frac {90}{\pi ^{4}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\left(1-\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right)\right).} マレク・ウォルフは において、リーマン予想を想定しながら、十分大きな x に対して次の式を示している： R i e s z ( x ) = c o n s t × x 1 / 4 sin ( ϕ − 1 2 γ 1 log ( x ) ) . {\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=const\times x^{1/4}\sin \left(\phi -{\frac {1}{2}}\gamma _{1}\log(x)\right).} ここで γ 1 = 14.13472514... {\displaystyle \gamma _{1}=14.13472514...} はゼータ函数のはじめの非自明なゼロ点の虚部である。また c o n s t = 7.7750627... × 10 − 5 {\displaystyle const=7.7750627...\times 10^{-5}} および ϕ = − 0.54916... = ( − 31 , 46447 ∘ ) {\displaystyle \phi =-0.54916...=(-31,46447^{\circ })} である。これは Herbert Wilf によって 1964 年に証明された リース函数のゼロ点と一致する。
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