リース函数のメリン変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/10 15:36 UTC 版)
「リース函数」の記事における「リース函数のメリン変換」の解説
リース函数は、メリン変換を介してリーマンゼータ函数と関連付けられる。今 M ( R i e s z ( z ) ) = ∫ 0 ∞ R i e s z ( z ) z s d z z {\displaystyle {\mathbf {M} }({\rm {Riesz}}(z))=\int _{0}^{\infty }{\rm {Riesz(z)}}z^{s}{\frac {dz}{z}}} とすれば、 ℜ ( s ) > − 1 {\displaystyle \Re (s)>-1} のときに ∫ 0 1 R i e s z ( z ) z s d z z {\displaystyle \int _{0}^{1}{\rm {Riesz}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}} は収束し、一方 ℜ ( s ) < − 1 2 {\displaystyle \Re (s)<-{\frac {1}{2}}} であれば成長条件により ∫ 1 ∞ R i e s z ( z ) z s d z z {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\rm {Riesz}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}} は収束することが分かる。これを組み合わせることで、リース函数のメリン変換は帯状領域 − 1 < ℜ ( s ) < − 1 2 {\displaystyle -1<\Re (s)<-{\frac {1}{2}}} の上で定義されることが分かる。この領域上では、 Γ ( s + 1 ) ζ ( − 2 s ) = M ( R i e s z ( z ) ) {\displaystyle {\frac {\Gamma (s+1)}{\zeta (-2s)}}={\mathbf {M} }({\rm {Riesz}}(z))} が成り立つ。 するとメリン逆変換により、リース函数を式 R i e s z ( z ) = ∫ c − i ∞ c + i ∞ Γ ( s + 1 ) ζ ( − 2 s ) z − s d s {\displaystyle {\rm {Riesz}}(z)=\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (s+1)}{\zeta (-2s)}}z^{-s}ds} で表すことが出来る。ここで c は -1 と -1/2 の間の値である。リーマン予想が真であるなら、この積分の直線を -1/4 よりも小さい任意の値へと移動することが出来る。したがってリース函数の成長率の 4 乗根と、リーマン予想との同値性が分かる。 J. garcia（脚注を参照）は、ボレル和（英語版）を使うことで f ( x ) {\displaystyle f(x)} に関する次の積分表現を得た。 exp ( − x ) − 1 = ∫ 0 ∞ f ( t ) t ρ ( x / t ) d t {\displaystyle \exp(-x)-1=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\rho ({\sqrt {x/t}})dt} ここで ρ ( x ) = x − ⌊ x ⌋ {\displaystyle \rho (x)=x-\lfloor x\rfloor } は 'x' の小数部分である。
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