モチーフとの関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/27 15:22 UTC 版)
「モチヴィック・コホモロジー」の記事における「モチーフとの関係」の解説
任意の体 k と可換環 R に対して、ヴォエヴォドスキーは k 上の R 係数の モチーフの導来圏 DM(k; R) と呼ばれる R 線形3角圏（英語版） を定義した。k 上のスキーム X から、X のモチーフ M(X) と X のコンパクト台のモチーフ Mc(X) という2つの DM の対象が得られる。X が k 上固有（英語版） であれば、この2つは同型である。 モチーフの導来圏の基本的なことの一つは、4種類のモチヴィック・ホモロジーとモチヴィック・コホモロジーは全てこの圏における射の集合として生じるということだ。これを記述するために、まず全ての整数 j に対しテイト・モチーフ R(j) と呼ばれる DM(k; R) の対象が存在し、射影空間のモチーフはテイト・モチーフの直和となることに注意する: M ( P k n ) ≅ ⊕ j = 0 n R ( j ) [ 2 j ] {\displaystyle M(\mathbf {P} _{k}^{n})\cong \oplus _{j=0}^{n}R(j)[2j]} ここで M ↦ M[1] は3角圏 DM(k; R)のずらし関手（もしくは"移動関手"）と呼ばれる関手である。これらを使うと、k 上有限型なスキーム X の（例えば）モチヴィック・コホモロジーは H i ( X , R ( j ) ) ≅ Hom D M ( k ; R ) ( M ( X ) , R ( j ) [ i ] ) {\displaystyle H^{i}(X,R(j))\cong {\text{Hom}}_{DM(k;R)}(M(X),R(j)[i])} とかける。 ベイリンソンによる予想のモダンな言い換えは、係数 R が有理数体のとき、DM(k; Q) のコンパクトな対象からなる部分圏はアーベル圏 MM(k) の有界導来圏、すなわち k 上の混合モチーフの圏に同値であろうというものになる。特にこの予想からモチヴィック・コホモロジー群は混合モチーフの圏におけるExt群と同一視できることが導かれる。この予想の証明はほとんど手つかずである。具体的に、ベイリンソンの予想は i < 0 に対して Hi(X,Q(j)) はゼロと予測する。これはベイリンソン・スレ（英語版）予想と呼ばれる予想であるが、これが知られているのはごく少数のケースだけである。 逆に、ベイリンソン・スレ予想の変種と、グロタンディークの標準予想とチャウ・モチーフについてのミュール（Murre）の予想をあわせると、DM(k; Q) の t 構造（英語版）のハート（heart）としてアーベル圏 MM(k) の存在が導かれる。しかし、これだけでは MM(k) でのExt群とモチヴィック・コホモロジーを同一視できることまでは導かれない。 複素数体の部分体 k に対して、混合モチーフのアーベル圏の候補がノリにより定義された。もし圏 MM(k) が期待される性質を持つ（特に MM(k) から Q 上のベクトル空間の圏へのベッチ実現関手が忠実）ならば、それはノリの圏と同値でなければならない。
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