ミンコフスキー幾何学とは？わかりやすく解説

ミンコフスキー空間（ミンコフスキーくうかん、英: Minkowski space）とは、非退化で対称な双線型形式を持つ実ベクトル空間である。ドイツの数学者のヘルマン・ミンコフスキーに因んで名付けられている。アルベルト・アインシュタインによる特殊相対性理論を定式化する枠組みとして用いられる。この特定の設定の下では空間に時間を組み合わせた時空を表現するため、物理学の文脈ではミンコフスキー時空とも呼ばれる。

構造

$(m, n)$ -型のミンコフスキー空間 $M m, n$ は、まず計量を無視して単なるベクトル空間と考えると $m$ -次元ユークリッド空間と $n$ -次元ユークリッド空間の直和 $M m, n = E m \oplus E n$ と定義されるものである。

（すなわち、集合としては直積集合 $M m, n = E m \times E n$ であり、 $V \in M m, n$ に対して $V (m) \in E m, V (n) \in E n$ がただ一組存在して順序対として

V =(V (m), V (n))

と表され、加法とスカラー倍は、 $a, b \in R$ に対して

aV + bW = (aV (m) + bW (m), aV (n) + bW (n))

であり、零ベクトル $0 \in M m, n$ は、それぞれの零ベクトル $0 (m) \in E m, 0 (n) \in E n$ の順序対

0=

(0 (m), 0 (n))

として定義されるようなものである。）

次元は $dim M m, n = m + n$ である。

直積空間としての $(m, n)$ -型のミンコフスキー空間 $M m, n = E m \times E n$ におけるミンコフスキー計量 $η (m, n)$ は、ユークリッド空間 $E m, E n$ におけるユークリッド計量を $d (m), d (n)$ として

{\begin{aligned}\eta _{(m,n)}(V,W)=&~d_{(m)}(V_{(m)},W_{(m)})\\&-d_{(n)}(V_{(n)},W_{(n)})\end{aligned}}