マシュー方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/30 02:02 UTC 版)
マシューの微分方程式（Mathieu's differential equation）の標準形は次のようなものである。 d 2 y d x 2 + [ a − 2 q cos ( 2 x ) ] y = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[a-2q\cos(2x)]y=0.} このマシュー方程式は、ただ一つの調和モードを持つヒル方程式である。 この方程式と密接に関連するのは、次のようなマシューの修正微分方程式（Mathieu's modified differential equation）である。 d 2 y d u 2 − [ a − 2 q cosh ( 2 u ) ] y = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{du^{2}}}-[a-2q\cosh(2u)]y=0.} これは u = i x {\displaystyle u=ix} を代入することで従う。 これら二つの方程式は、二次元のヘルムホルツ方程式を楕円座標系（英語版）で表現し、二変数に分離することで得られる 。この事実から、これらの方程式はそれぞれアンギュラ（angular）およびラディアル（radial）マシュー方程式としても知られている。 t = cos ( x ) {\displaystyle t=\cos(x)} を代入することで、マシュー方程式は次の代数形式に変換される。 ( 1 − t 2 ) d 2 y d t 2 − t d y d t + ( a + 2 q ( 1 − 2 t 2 ) ) y = 0. {\displaystyle (1-t^{2}){\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-t\,{\frac {dy}{dt}}+(a+2q(1-2t^{2}))\,y=0.} この方程式は t = − 1 , 1 {\displaystyle t=-1,1} において二つの確定特異点を持ち、無限大において一つの不確定特異点を持つ。このことは、一般に（他の多くの特殊函数とは異なり）マシュー方程式の解は超幾何函数を用いて表現できないことを意味する。 マシューの微分方程式は、列車が走る時の鉄道レールの安定性や、人口動態の季節性、四次元波動方程式、リミットサイクルの安定性に関するフロケ理論など、多くの文脈において数理モデルとして扱われる。
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